ページ3:

n
d(n)
n
の約数の個数
d (n)
f(n)=
(1) f(2025)
n
34.52
2025=
d(2025)
=
(4+1)(2+1)
=
5.3
=
15
f(2025)
d(2025)
12025
3)2025
31675
3)225
3) 75
5)25
5
15
15
134.52
(325) 2
15
(答)
32.5
3

ページ4:

(2)
P: 素数
k
正の整数
f (ph) { t (ph")
f1ph) =
k+1
=
d (pk)
1pk
dip'
k+1
k+1
=
k + 2
/pk+1
k
f(ph) { t (p + )
k + 1
✓
k + 2
k+1
k+1
>0
>0 7297
≤
(k + 2) [pk
[ph > 0, √p
(k + 1) /p
(k+1) P {
k + 1 > o
なので
π į
k + 2
k+2
k+1
k+2
なので
k+1
ここで
より
k + 2
2
=
k+1
| | +
2
k+1
k+132
{
1/
2
1+1+1 51+ 1/1/1
k
①

ページ5:

|+
k+
{
3
2
2
3 2
P ≤ ( | + 1 + 1 ) ² ≤ ( 131 ) ²
9
k+1
157-24
2.
Pは素数より
P
=
k+2
2
①より
2 ≤1
k+1
2
(k+21'
(k+1)³
2
2(k
+
1)² ≤ ( k
+ 2)²
2
k² + 2k + 1 )
2
≤
k ² + 4 k + 4
2 k² + 4k+2
<
2
k² + 4k+x
2
(2 k² + 4 k + 2) - (k ² +
2 k² + 4k +
2
k'
-
+ k + 6 ) ≤0
k² - 4 k
X
50
-
20
k-2
k' - (√2)' ≤0
(k + √2) (k-2) ≤0
k>057
0
< k ≤ √2
20/2
kは正の整数より
k
=
1.
求める
P と
k
の組は
P = 2,
k
=
1
(答)

ページ6:

(3) f(n)
素数 P
と
[1]P
0以上の 整数たとする。
f(p^)=
= 2のとき
dipty
5ph
+12°)=f(1)
=
J
k+1
Tpk
=
1+1
2
(2)2
† 12') =
=
12
/2
√
112より
(2)より
f(2°) <f(27)
f (2') ≤ f (2²) > † (2³) > †(2*) >·
f (2°) < f (2') ≤ f (2") > f (2³) > f (2") > ·
最大値は
[2] p=3のとき
+(22)
f(3%) f(1) =1
=
2+1
3
=
122
2
> |
+(37)=
13
2
より
13
(2)より
=
2
B
+ (3° <f (3)
+(3)+(3)+(33)
+(3°゜)<+(37)+(3)+(33) >

ページ7:

[3] p
最大値は
fe).
=
13
が5以上の素数のとき
+(p°)=f(1)=1
+ (p') =
P≧5より
1+ 1
JP
=
135
√5
2
JP
2
2
赤い
2
より
+ (p²) > t (p)
JP
(2)より
f (p') > t (p³) > tip³) >
† (p°) > f (p') > t (p²) > tip³) >
† ...
:
最大値は
f(p°)=1.
[1] [2] [3] より
n =
,
2 kr. 3kz. p 3
k₁, kz, k z
P3, P4,
とする
2
k
kx
k3
P4
km
を
ノ
を
pm
+(n)=f(241.340. P
=
P3
k3
km
Pm
0以上 整数
の
5以上の素数
.
kx
km
P4
Pm)
(k+1) (k2+1) (k3+1)
k2
kz
124.34.13
P3
kx
P4
(km+1)
kem
Pm

ページ8:

このとき
=
√2
=
k₂+1 ki+l
√3kz
kx+1
m t
Jp ke
f (2 k₁) f (32) f (p₁²²) + (P₂ *).
< ƒ (2²). † (3') · † (p₁°) + (på)
=
3
2
2
√
Im
km
.
+ ( pm )
J
J3
3.
n =
=
2
4
.
-
= 12
3
f(n) の最大値
3
(各)
n
=
12
のとき

ページ9:

2
C₁ x²+y'=32
直線 x=2上 の点P
(1)
P(2,t) とおく
C2:
(x-2)² + (9-8)²= |
CC2が共有点を
y
もつ
のは、
C₁ & C 2 の
中心間の距離と
3
半径
の
関係より
P(2,t) C2
A
C₁
3-1 <
OP
<3+1
+t
2 < 22
>
> 0
270 40なので
2
<4
-3
0
3
x
+
t
2
4<
4
-
2
2
2
2
+ t
2
< 16
4+ t
4 <t
2
2
<16-4
0 < t² <12
0
<t²
2
ピより
くにより
t² <12
t² > o
t = 0
t² - 12 <0
t² - (12)² < 0
3
t²-12
(t + √12) It
12) <0
t
(t +
23 ) ( t 2 3 ) <0
-213
2√3
-2厚くもく厚
Pのy座標の範囲は
- 2√3 < 1 <0.0 < y < 2/3
(谷)

ページ10:

(2)
Q(XY)とおく
Q
は直線
OP上の
直線 0 0P 17
C₁
ひ
y
=
x
2
Qは直線OP 上
Y =
t
2点 P Q
.
の
の
より
×
2
2
中点をする
R 12
C., C 2 9
共有点の中点
C₁
(2 共有点の 座標は
の
①
②
の
連立方程式
の
解と
一致する
x2+
y ==
32
(X-2)²
+
y
P12,t)
C2
R
3
l
Q
-3
0
3
( y − t)²= |
-
x²+ y²) - {(x-2)+(y-t)^2}=3-1
2
x
+
-
2
x² + y
2
11^2-4x+4+ 1² - 2 ty + t² )
2
+4x
4
4x+2ty
-
-
-
t'
2
y'+ity
t'
-
4
-
-
12 =0
C2 の共有点を通る
t
2
4x+
2ty
これは
C, E
直線
の方程式
lは
4x+
2ty
ーピー
12 =0
3.
=
9-1
8
直線
op l の
交点 R
の
x座標
を求める
① ③
より
4x+
4x+2t.
2
+ x
2
t² x
-
2
t
t2_12=0
12=0

ページ11:

(4+1') x
=
=
2
t + 12
2
t² + 12
+++4
t
t'+12
t (t²+12)
①よう
y
2
=
+4 21t²+4)
R |
t2+12
t (t² + 12)
-)
t+4
211²+41
PQ の中点が
2 + X
2
t + Y
2
=
+++4
t(t + 12)
21t²+4)
Rより
12+12
=
(2
t + 24
②より
2+
=
t² + 4
2
2t
=
+4
=
2t
2
+24
+24
2
-
t² + x
2+ + 28
16
t² + x
-
+4
2
21t²+ 4)
2
2t
8
①より
Y
t
16
8t
2
t+4
+2+4
16
21
+ 4
,
St
t²+4
)
(⑤ 5

ページ12:

①より
X = 0 のとき
2
④より
0 = X
Y=1/2x
=
×
t
2 Y
×
16
(笑)+4
16×2
4y'+4x
14Y+48%)×=16 ×
な
ので
4(Y'+x^) = 16×
X
x² + y²
2
=
4×
x^2-4× + Y
(x-2)^2 -2'
(x-2) ^ +
+
Y
2
Y²
=
16
④
より
X
=
t2+4
(, J (1)
2
-2ct co
2
0² < t
> 7 > 0
2
< (2/3)2
2
0 <
<12
4 < t + 4 < 16
2
1
t² + 4
>
16
4
16
16
16
16
+4
>
☑
< 4
⑦
16
4 Y
+4
×2
2/3

ページ13:

⑦より点日の軌跡は
(x-2)^+y'
=
4
(1<x<4)
逆に上
の 5. ( x, y ) 12
⑤を満たす
y² =
y
4 - (x-2)^
± 4-(x-2)^
29
+ 24
(x-2)2
t
=
x
= + 2
x
4 - (x² - 4x + 4)
x2
4
x+4x
4
=
+ 2
x2
2
=±2
-x +4x
x2
1 <x<4より
4
x
<4
x
4
0
1 <3
x
0 <
×
⑨
x
0
<212万⑩
2
4
x
-
⑪
-2万く
-
1. 0.
① より
満たす。

ページ14:

1 < x < 4
(谷)
求める点 Qの軌跡は
(x-2)+y'=4.
X=1とすると
(1-2)+y
(-1)²
+
| +
y
y
y
y
2
2
4
4
4
3
(4-2)+y=x
=
± 3
2
+
y
4
4+
y'=4
x=4とすると
2
y ² = 0
y
次の
のようになる
y
2
(
2
x2+(y-2)=4
(1≤x≤4)
2
14
x

ページ15:

[1]
3
6 ),"
| x² - a | d x = a²-2a+k
0
2
-
a
+
2a = k
2
6 / ² 1 x ² - a dx
tia)
y
=
とおく
=
k
6 / ² | x² - a | dx - a ² + za
y = fla) >
y
=
k
の共有点の個数と
が成り立つ実数aの個数と一致する
2
x
-
a≧0とすると
a = 0
のとき
x =
a
x =
± √a
9 <0
とすると
解 なし
-Ta
a
x
aco
x
-
-
a > o
a > o
| n² - a| =
2
2
x-a
Jo² 1 x == a/dx
= To" (x²-a) dx
612
16-
-
-
a 2 )
12 a
=
(½ ½ x² - ax].'
-
0
=
61 1 1 -20)
(a)
=
=
(16-12a) - a² + La
a
2
-10a +16
= -
2
a
+10a)
+ 16
0
2
X

ページ16:

- | 10+ 5)² - 25}
= -
=
a+
2
+16
( a + 5 ) +25 + 16
(a+ 5)
2
+ 41
7107
=
16
グラつよう
y =
flas (a <u) y = ka
共有点の個数は
k> 41
のとき
0個
k
=
41
のとき
1個
16ㄑk<41のとき
16の
2 は
とき
1個
0 ≤ √a < 2
[2]
すなわち
0
≤ a < 4
のとき
50
41
616
2
|-|-| x-a (65x527) /
2
のとき)
- Ta
Ta 2
a
-(x²
a)
· 6
· | ² 1 x ² - al d x
0
Ta
2
-- 6 [["^(- (x²-03| de² + (= (x²- a) de ]
=6
0
a ) dx
=
Ta
+ ax
x) a
Ta
+
3
[ ax ] }
2
• 6 {1-a @ + a√ā)-0 + + -za- (at ^ - a/a} }
3
=
= 6 / 2050
{
3
ala)
8
3
2
+ 1 - 20 - ( -20~) |
34 +-
3
3
)

ページ17:

=
==
=
61
61
2a Ta
4 ata
3
+
+
Jaa + 16
: f (a) = 18 a
=
=
3
8
3
-
- 2 a +
-
12 a
√a + 16
2
a
-
2a)
+ data
Ta
おく
0 ≤
α<<
より
g(t)
=
とおく
= -
2 ata
3
12a)
-
a² + 2 a
-10a + 16
a = t'
0 ≤ t
2
- (t²)² + ft² t
t + ft
3
-
-
10t
< 2
2
10 t + 16
2
g'(t) = - 4t³ + 24t² - 20t
+ 16
=
- 4 t (t² 6t + 5)
=
-
It (t − 1 ) (t-5)
g'(t)=0とすると
-
4t (t- 1) (t-5)=0
t = 0, 15
g(t)の増減表は
t
0
g'(t)
g(t) 16
-
↓
0
+
2
>
(24)
LA
0
9(0) = 16
911)
9(2)
1 + 8 - 10 + 16 =
13
=
-
=
-
=
-
24
+
8.2
- 16 + 64
-
10.2²+16
-
40+16 24
=

ページ18:

y=trai
(0≦a(2)とy=kの
共有点の個数は
24
y=g(t) lostく4)と g
=
ka
16
共有点の個数と一致する
グラフより
13
k≧24のとき
0個
0
2
a
16ch<24のとき
個
13ch≦16のとき
2個
k
=
13のとき
1個
k<13のとき
0個
[3]
4sa
のとき
2
6 / ² |
6
=-
0
x²-aldx
(x²-α) dx
3
- 6 [½ ½ x² - ax]
=
-
3
16 +12a
2
=
= -
6
| (x²= a; dz
-
-
6
-
2a)
if(a)
=
=
=
=
16+ 12a)
a
2
+14 a
-
-
a
2
16
16
+ La
(a²-14a)
-{la-73-49}-16
(9-7)²+49
2
-la-7) +33
16
f(4)
=
14
-
クノ
2
+33
(-3)+33
=
9 +33
=
24
0
Ta

ページ19:

:: y = tca,
(a ≧ 4)とy=kの
共有点の個数は
33
k33のとき
0
k
=33のとき
1個
24
24sk<33のとき 2個
k<24のとき
[1][2][3]より
y=fraicy=
ko
の
47
141
共有点
の
個数は
k
[2]
[3]
13
16
124
33
1
|
2
2
2
2
2
2
2
1
0
0
0
C
1
2
2
1
C
計
2
4
4
4
4
3
2
k41のとき
0
k
=41
のとき
|
k<13,33 くんく41のとき
2個
k
=
13,33のとき
3個
13<k<33のとき
4個
が成り立つ
実数aが
ち
うど4つ
存在する
んの範囲は
13<k<33
(答)
-
°
0 0
°
。
0
a

ページ20:

4
A 10,3.
B 15,
OP
=
-
5)
2.10)
s[(1-t) oA+toB
D
5
B
t
AC :
r=10/2
00
が最小
0Q
=
(1-t) o A + t OB
A
0
とおく
02 17
OA
.
B
t: 11-t) に 内分する
3
た
=
/
の
ときの
5
Q & M, N = 5. <.
+0=
sts
3
5
B
のとき
点々が存在する範
線分MN上
M
OP = SOQ
520
A
点Pが存在する範囲Dは
0
の斜線部分
B
ただし、境界を含む
N
F C
最小となるの
の中心と原点との距離が
M
は
円 C
と直線OMONと接するとき
A
の
ときの円の中心をRとする
0
10/2
R
10/2
C

ページ21:

OM =
=
=
=
5
+
I
( 0, 3, −5) + — — (5,- 2.10)
10, 1/35
,
10
5
'
-
2
−4) + ((. — — — 2 )
・4)+(1
5
-2) = (1, 2,-2)
No
2
=
|
10 A
+
OB
5
2
3
=
(0, 3-5) +
(5,-2,10)
5
6
=
10,
,
2)+(3
.
5
-
6
5
=
(3, 0, 4 )
LMON = 0 1010(R)
とおく
cos 0 =
ここで
OM
ON
OM ON
|OM|=
=
=
=
2+(-212
1+4+4
+
=
3
0 +42
=
3
=
9 +16
=
125
=
5
1. 3 + 2.0+(-2)4
ON
=
=
3
-
8
==
6)

ページ22:

cos O
=
-5
3.5
1/3
R
また
0
OR
Lin
=
102
2
10/2
44
OR ≠0 より
10 √2
0
Sin
2
OR
cos O
-1
=
(1
-3
3
=
=
2
0
2 ein²
21
2
800
OR²
2
10√2
)
OR
100.2
OR²
2
3
2
OR
=
400
2
3
OR
2
400
= 300
4
OR>0 59
OR
=
1300
=
103
OR E
MN
の交点をSとする
0512
LOMN
の
二等分線より
MS:
N√ = OM: ON
=
3:5
-1
50M
+ ON
=
=
3+5
511,
2
.2)
8
+3(3,0,4)
B
C
10/2
R
て
in den
10/2
5
s
3
M
A

ページ23:

(5, 10,
-
10) + (90)
12)
=
1/1 114.
8
8
10, 2)
17.5.1)
「
OS
OR=
ORX
Tōst
=
10√3
4
=
10/3
立(7.5.1)
+5
+ √7² + 5² + 1²
17.5. い
2
49+25+T
=
103 ×
17.5.1)
175
=10万
=
=
217.5.
(14, 10, 2)
(17.5.1)
5万
リ
R
(14, 10, 2)
(答)

ページ24:

5 (1) Pn of A, B, C, D, E F
ある確率をそれぞれ
A
B
E
An, bn, Cn, dn,
en
とする
D
anti =
}} bu
buti
=
An +
Cnt
du
Chti
=
3
en+1
=
b n
+
en
b n +
3
en
2
=
Ch
+
dn
PIAより
a₁ = 1,
b₁ = c₁ = d₁ = e₁ = 0
C4+1 =
duti
C₁
=
du
Anti =
bn
buti
=
An +
Cnt
C₁ =
ant Cn
2
2
Cuti
=
m
174
b n
+
en
2
duti
en+1
=
bu+
=
en
Cu+1
2
Ch
+
Cn =
Cn
Cn+2
=
but
+
en+1
①
(N)

ページ25:

Anti
=
}} bu
butt
=
ant Cn
Cn+2
=
:
but
+
六
Cn
=
bn+1
an
=
bn+3
- An+2
ant Ch =
Anti
=
Ch
C4+2
}} bu
bn +3
bn
3 An+4
-
=
An+2
===
3 An+1
✓
b n + 1
+
(bner
an)
3
ant₂ =
1
·3 An+2
+
( 3 arz
An+2 +
An+2
-
2
I
av
an
3
an)
6 An+4
-
2 An+2
6 9n+4
· 2 An+2
6 An+4
- 7 An+2
2 An+2
+ an = 0
-
= 2 an+2 + 3 an+2
-
an
+ An = 0
3 an+2
(5)
an+x
α antz
=
Blan+2.
-
dan) とおく
=
α An+2
ß an+2
-
α Ban
An+4
an+4
An+4
-
-
L An+z
Ban+2 +
Lßan
= 0
(L+P) an+ 2
+
á Banzo
7
L+B
6
LB
=

ページ26:

LB 18
の
x²
解
6x
-
2
-
-
An+4
a4e4
7
6
その
方程む
7 x
+
+
6
= 0
1
= 0
= 0
1)(6x-1)
x = 1.
-
6x
=
x Į
+ } an+z =
=
a4+2
+
an
⑥
A4+2 =
(antz
and
⑦
[1]が奇数のとき
⑥ より
A4+4
-
A4+2
=
az -
a₁
6
a
=
bi
=
C₁ =
d₁ = e₁ = 0
①より
92=0
.
b₂ = 1
C₂ =
dz
=
e₂ = 0
e3
,
as = 1, bz = 0,
: Anta
3
-
A4+2
C = d z = — —
1/13-1/1
2
3
6
-
①より
A4+4
A4+2
=
f I anez
an)
2
= 1 + 1" (an-an-2)

ページ27:

[2]
=
は
n+1
las
-
- a₁)
=
19₁ =
ant2 - (n+1)
= antz -
n+1
h+l
より)
2
(1)(3-1)
2
n+1
2
より
1/14ames+amz
2
=
+
3
5
2
ant2
+
6
6
3
n+1
2
n+1
Am - ( + + + 1 + 1]
antz
=
V
5
1
n+l
h-1
nが偶数のとき
⑥ より
①より
a
an+4
-
4
a = + + + ( | ) +
5
antz=
as
-
6
=1,
2
a3
= 0
=
b
2
=
1/1.63=0,
3
5
が奇数のとき)
6
az
C₂ = d2=e2=0
C3=ds=1/2.
3
es=0
a4
=
0
an+4
-
/antz
=
an+4
0
=0
an=
=
2
— anez = ( f )² a
an+2

ページ28:

an
=
laz
a2
= a
2n-n
= a 2n- 2. — 21 F ' ) )
=
=
2
== 0
しんが偶数のとき)
[1][2]より
4
h-1
a = + + + ( 1 ) + 1
an
5
しんが奇数のとき)
an
=
しんが偶数のとき)
① より
bn
=
3an+1
んが奇数のとき
ntiが偶数より
bn
= 3. anti=3.0=0
h-1
4
2
an+bn
==
+
+0
5
5
nが偶数のとき
nt)は
奇数より
bu
ant bu
11
+
5
n-1
=
=
=
0 +
3 anti
信
+
4
5
2/11+4
+41
5
3
5
+
12
(
12
1
1
5
h
}
h

ページ29:

(2)
pn=an+
bu より
Pn
リ
-|53|5
3
12
+
5
+
5
12
k=1
.
2
n
の
いずれに対しても
Ph
= E
と
ならな
い
5
一度もEに ならないで
h
B
Pn が A, CDである
確率をそれぞれan.
bn,ch.
dn とおく
anm=1/23
bú
b'nti
=
an +
C'm
+dn
c'n+ 1 =
nt
====
bm
2
また
ん
J
(nが奇数のとき)
(nが偶数のとき)
A
B
D
+1
an
+
=
2
bu
bút có
an+
bnti
ch
+dn'
=
+ dn
butl
d
2d =
d
=
=
I
1-bm
-
-
In
=
-
Ibn
-
①とおく
α)
①
より
α =
2
(答)

ページ30:

Ituq
数列{bu
PIAより
b
-
1
2
=
(bi-1/2)
公比-1の等比数列
1/12} は
61-1/2=161-1/2)トーリー
bw
-
bi=0
1/2
=
n-/
1-4 (1-) ( +-01
2
a'mt = 1/366
bi より
an
+
(-1)"
2
=
2
anfi
= 49
=
(1-)
4-1
+
1
(-1)"
2
+++ (-1) |
2
(-1)"
6
n+)
(-1) (-1)
(-1)"
6
6
"
2
an
1
6
+
+
(-1)"
6
3
6
+
2(-1)"
6
=
+
2
31-11"
6
6
2
(-1)"
+
3

ページ31:

nが奇数のとき
9m=
11
11
a'nt bh
2
=
2+
Pn
+
3
(-1)"
n
512+
11
4
+
5
(-1)"
+
}
n-1
5
n-L
2
4(1) 笠
{ ++ 1 + 16 +118
3+
nが偶数のとき
hn =
11
=
an' + bu'
3
Pu
+
(-1)
3
5
2+(-1)"
3
×
5 (2+(-1)"}
12
+号}
5
5
311+4(1)}
9{1+4(1)}
5/ 2 +
(-1)"}
Inが奇数のとき)
311+4
(
qn=
(答)
512+(-1)"}
inが偶数のとき)
9{1+4(1)