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倍数・約数 - 3. 商と余り
●pでわるとrあまる整数の数列は、 はじめの数がγで、ずつ増える等差数列
●条件が2つある場合には書き出すことで最初の数を見つけ、以降はわる数の最小公倍数ずつ増えていく
(1) 同じあまりの数列
pでわるとあまる整数の数列
はじめの数 (初項)がで、ずつ増える等差数列
条件が2つ以上ある場合、 パターンは3通り
パターン①でわってもんでわってもあまる整数
aとbの最小公倍数より大きい整数
(例) 4でわっても6でわっても3あまり2けたの整数のうち
最も小さい数は?
(解)両方でわってもあまりが3なので、一番小さい数は3。
4と6の最小公倍数は12なので、 3 +12 = 15
(例) 6でわると2あまり、8でわると4あまる整数を小さい順に
ならべます。 300に最も近い整数は何ですか?
(解)
①最初の整数(初項)を求める
この場合は、左のパターン②なので、
最初の整数 (初項) は6と8の最小公倍数24より、 わる数と
あまりの差である4を引いて、 244=20
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6でわると 38 14 20 26 32 38 44
50
2 あまる
パターン②あまりは異なるが、 わる数とあまりの差が同じ
aとbの最小公倍数よりだけ小さい整数
4 12 20 28 36 44
52
8ると
4あまる
(例) 4でわると3あまり、6でわると5あまる整数のうち
最も小さい数は?
(解) わる数とあまりの差がどちらも1なので、一番小さい数は
4と6の最小公倍数は12より、 12-1=11
パターン③ 上記以外
条件に当てはまる数を調べて探して、
②増える整数 (公差) は、 わる整数の最小公倍数
公差は、 6と8の最小公倍数となる24
残りは、最小公倍数の間かくで、 増減させる
(例) 6でわると2あまる4の倍数のうち2番目に小さい数は?
③目標となる前後の整数を調べて、近い方が答え
初項以降、 (300-20)+24=11あまり16なので、
この数列の12番目 : 20 + 24×11=284
この数列の13番目 : 284 + 24 = 308
初項を除くと11番目
前の数の次の数は、
(解)でわると 2 8
2 あまる
14
20
26
となるので、 300により近い整数は、308
4 8
4の倍数
12 16 20 24
-O
一番小さな数で当てはまるものを書き出して探すと8。
4と6の最小公倍数は12なので、2番目は、 8+ 12= 20
公差をたす
3

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倍数・約数 - 4. 約数
● 約数とは、 ある整数をわり切ることができる整数のこと。 1と口自身は必ず口の約数になる
●公約数とは、2つ以上の整数の共通な約数のことで、 公約数の中で最も大きな整数を最大公約数という
(1)約数
> 約数: ある整数をわり切ることができる整数のこと
(例) 12の約数: 1、2、3、4、6、12
整数=○×△で表せるとき、○と△は口の約数
(○、△は0ではない整数)
>□=□×1なので、1と口自身は必ず口の約数
(例) 36の約数は全部で何個か?
〇 △で始めて
IO ≧ △となったら
(解)36=1×36、 2×18、 3×12、 4×9、 6×6 打ち止め
なので、36の約数は1、2、3、4、6、9、12、18、36}
の9個
(別解: 素因数分解と場合の数を使うと、)
36を素因数分解すると、 36= 2×2×3×3。
(2) 公約数・最大公約数
> 公約数:2つ以上の数の共通の約数のこと
> 最大公約数: 公約数の中で最も大きな整数 (G.C.D.)
(例)36と48の公約数は、
36の約数: 1、2、3、4、6、9、12、18、36
12346
48の約数:1、2、3、4、6、8、12、16、24、48
> 最大公約数は連除法で求めることができる
ただし、3つ以上の数の最大公約数を求める場合、
1つでも割り切れない数があったら公約数ではないことに注意
(例)
2の倍数･･･ {1,2,2×2} の3通り
2) 16 24 60
最大公約数のときは、
3の倍数･･･ {1,3,3×3} の3通り
2)
8
12
30
全部の整数で
なので、この組み合わせは、 3×3=9[個]
割れないとダメ!
4
6 15
(例) 40をわると4あまる整数をすべて求めなさい
16, 24, 60の最大公約数は、 2×2 = 4
(解) 40 △=○あまり4となるので、
△×○ + 4 = 40
40でわるとの
場合は、
倍数の問題
左側だけかける
△xO = 40-4=36
となるため、 わる数△は、 36の約数となる。
ただし、あまりが4のため、 わる数は4より大きい整数となる。
36の約数は{1、2、3、4、6、9、12、18、36}なので、
この中で、4より大きい整数は6、9、12、18、36
(3) 互いに素
たが
互いに素 2つの整数の最大公約数が1の状態
(2つの整数に1以外に共通の約数が無い)
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倍数・約数 - 5.最大公約数の応用
2つの整数の積は、 2つの整数の最大公約数・最小公倍数の積と等しい
(1) 最小公倍数と最大公約数の関係
(2) 最大公約数を使った応用問題
|26cm
【定理(正しいことが証明されたもの)】
(例)
39cm
2つの整数の積は、2つの整数の最大公約数・最小公倍数
の積と等しい
整数ax整数b=最大公約数G×最小公倍数L
たての長さ26cm、 横の長さ39cmの
あつ紙を、あまりが出ないように切って、
同じ大きさの出来るだけ大きい正方形を
作ります。正方形は何枚できますか?
(解)
正方形の1辺の長さは、 たてと横の長さの最大公約数
(例)2けたの整数が2つあります。 この2つの整数の積は320、
最大公約数が4のとき、 この2つの整数は何と何ですか?
(解)
1 公式から最小公倍数を求める
最小公倍数は、320÷4=80
②連除法で最小公倍数を求める方法を思い浮かべる
連除法をイメージすると、
最大公約数)
a
b
最小
xy 公倍数
右のようになり、4×xxy = 80。
よって、 xxy = 80÷4=20 となるような、 (x,y)の組を探すと、
(x,y) = (1,20), (2,10), (4,5) のいずれか。
求める整数は2けたなので、(x,y) を4倍 (最大公約数) して、
2けたになるのは、 (x,y)=(4,5)だけ。
√ (x,y) = (1,20) のとき、 a = 1×4=4となり2けたにならない
√ (x,y) = (2,10)のとき、a= 2×4=8となり2けたにならない
√ (x,y) = (4,5) のとき、 a=16,b= 20となり両方とも2けた
したがって、このとき2つの整数は、4×4=16、5×4 = 20
26と39の最大公約数は13なので、正方形の1辺の長さは13cm
② たて、横それぞれ13cmの正方形をいくつ作れるかを
計算して、それをかけ合わせる
たて: 26 132[枚]
横 : 3913=3 [枚]
となるので、正方形は2x3 = 6 [枚]
(例) A、B、Cは1ではない整数で、
AxB = 28、BxC = 42のとき、 考えられるA・B・Cの組を、
(A,B,C) の形で全て答えなさい
(答) Bは28と42の公約数のうち、1を除いた整数になる。
28と42の最大公約数は14なので、
Bとして考えられるのは1以外の14の約数になる
B=2のとき、 A = 28÷2=14、C=42÷2= 21のため、
(A,B,C) = (14,2,21)。
同じようにに、 B = 7のとき、 (A,B,C) = (4,7,6)。
B 14のとき、 (A,B,C) = (2,14,3)。
したがって答えは、(14,2,1) (4,7,6), (2,143)の3通り
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