ありがとうございました！
その数列がどのようなものかきちんと把握する必要があるのだと身にしみました、

Σで等比数列が書かれているときは、具体的にその数列の和を列挙(書き出す)してあげると、何が初項で、項数はいくつあるのかということがわかって、等比数列の公式ぐ使いやすいですよ！

いい質問ですね。
その公式は文字だけで覚えるとまず間違えますので、日本語で覚えてください。

等比数列の和＝初項×(1-公比の項数乗)/(1-公比)

4は初項ですね。4のk-1乗だと勘違いしていましたが、4のk乗でしたね。
シグマを使わずに書き並べると
4,16,64,…4＾n-1
となり、初項が4、公比が4、項数がn-1であることがわかります。

また、その公式を使いたければ、4＾k＝4×4＾k-1と変形して4＾k-1のシグマをその式で求めて、後から4を掛けても良いです。

一番初めに載せたノートの写真では、4をかけていると思うんですが、その違いは何ですか？
なんどもすみません

シグマの公式として掲載してくれてるのは親切ですね。その公式で合ってます。
むしろその公式が等比数列の和の公式です。
4のk-1乗は等比数列です。k＝1,2,3と代入していけば1,4,16,64…となるのがわかります。