【中学受験算数】Ⅵ-03. 三角形

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まっちゃん

中学受験でも高校受験でもお馴染みの三角形です。
外角や二等分角の取り扱い方が肝かなと思います。

2025.06.06 公開

中学受験算数平面図形三角形角度

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ノートテキスト

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三角形 - 3. 二等辺三角形
● 二等辺三角形とは、 2辺の長さが等しい三角形のことで、 2つの底角も同じ角度になる
● 同じ長さの辺にはさまれた角を2等分する直線を引くと、向かいの辺と垂直に交わる
(1)二等辺三角形の定義
【定義(最初に決めた出発点) 】
(3)二等辺三角形になるための条件
①②のどちらかならば、 二等辺三角形になる
①2辺の長さが同じ
二等辺三角形
頂角
二等辺三角形: 2辺の長さが等しい三角形
底角
底辺
(2)二等辺三角形の性質
②2点の角度が同じ
高さ
底辺
二等辺三角形
ABC
① 角B = 角C(底角が等しい)
Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa
|2025/5/18
辺AB=辺AC
② 角Aを二等分する直線は、
辺BCの真ん中で垂直に交わる
(BH=HC)
ならば
③ AHは底辺BCに対する高さ
中線
B
(例) 口の大きさは?
口。
二等辺三角形なので、
もう1つの角度も口
三角形の内角の和は180°なので、
□x2 +32 = 180
32°
□ = (180-32)+ 2 = 74°
【①の証明 (なぜそうなるのか?)】
二等辺三角形の∠Aの大きさが同じになるように二等分して、
辺BCと接した点をHとすると、
AB = AC、 ∠BAH=∠CAH AHが共通 中学では、
となって、 三角形ABHと三角形ACHは
∠A: 角度A
全く同じ図形。 したがって、 ∠B= ∠Cとなる
△ABC:
三角形ABC
3

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|2025/5/18
三角形 - 4. 正三角形
● 正三角形とは、 3辺の長さが等しい三角形のことで、 二等辺三角形の特別な場合
●正三角形の内角 (角度)は全て60°
(1)正三角形の定義
【定義(最初に決めた出発点) 】
正三角形: 3辺の長さが等しい三角形
(2) 正三角形の性質
正三角形ABC
(3) 正三角形になる条件
①②のどちらかならば、正三角形になる
①3辺の長さが同じ
正三角形
① 角A = 角B = 角C=60°
②2辺が同じで、
60°
②二等辺三角形の性質は
全て当てはまる
どこかの角度が60°
60°
600
60°
または
60°
辺AB=辺BC
=辺 CA
ならば
角Aを二等分する直線は
辺BCの真ん中で垂直に交わ
る(BH=HC)
AHは底辺BCに対する高さ
【内角が60°の証明 (なぜそうなるのか?)】
正三角形ABCは、 辺AB=辺BCの
二等辺三角形なので、
∠B= ∠C
また、 辺BC=辺CAでもあるので、
B
∠A= ∠B
したがって、 ∠A= ∠B= ∠Cで
全て同じ角度になる。
60°
三角形の内角の和は180°なので、
B
1つ分は 180°+3=60°
C
B
C
B
4

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三角形 - 5. 直角三角形
● 直角三角形は1つの内角が直角の三角形。さらに2つの辺の長さが同じ場合は直角二等辺三角形
● 三角定規は、45% 45%90°と30% 60° 90°の2種類
(3) 三角定規
(1)直角三角形の定義
【定義(最初に決めたこと)】
> 三角定規は2種類の直角三角形で構成
[斜辺
直角三角形: 1つの内角が
直角三角形
☐
> 直角三角形の直角以外の2つの角は鋭角 (90°未満)
斜辺の長さ 他の2辺の長さの合計
(2) 直角二等辺三角形
【定義(最初に決めたこと)】
直角二等辺三角形 :
1つの内角が直角で、かつ直角を挟む辺が同じ長さ
の三角形
二等辺三角形の性質は全て当てはまる
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|2025/5/18
2つの底角は (180°-90°)÷2= 45°
直角二等辺
|三角形ABC
正方形を2等分
してできる形
45°
45
160°
45°
✓ 直角二等辺三角形
✓ 正方形の半分の大きさ
30°
30%
▼正三角形の半分の
大きさ
斜辺の長さは、 一番
短い辺の長さの2倍
5

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三角形 - 2. 三角形の種類
● 三角形には二等辺三角形、 正三角形、 直角三角形などの種類がある
● 三角形の1辺の長さはその他2辺の長さの和よりも小さい性質がある
(1)三角形の分類
定義
> 二等辺三角形: 2辺の長さが同じ三角形
> 正三角形: 3辺の長さが同じ三角形
種類
普通の
三角形
二等辺
三角形
正三角形
直角三角形
内角の和
180°
直角三角形: 1つの角が直角の三角形
正三角形は、二等辺三角形でもある
鋭角2つ +
鈍角1つ
鋭角
鋭角2つ +
鈍角1つ
同じ長さ
3角全部
90°と
60°
鋭角2つ
2辺の
長さが同じ
3辺の
長さが同じ
60°
鈍角
内角の構成
60'
/60°60
あるいは
どんかく
あるいは
|鈍角
三角形
二等辺三角形
3つとも鋭角
60° 60%
3つとも鋭角
正三角形
90°
ちょっかく
(90°より大)
直角
えいかく
鋭角
1つの角が
さらに
直角
直角
(90°未満)
全て直角
1辺は、
その他2辺の
和より小さい
2辺同じ
辺の長さ
45
さらに
直角三角形 2辺の長さ 直角二等辺三角形
が同じ
ウ<ア+イ
アイ
アイ+ウ
AA
ア=イ=ウ
斜辺は、
その他2辺の
和より小さい
ウ
ウ<ア+イ
3辺全て
同じ
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|2025/10/4
2

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-
三角形 6. 三角形の面積
2025/10/4改定
● 三角形の面積は、 底辺×高さ2。 底辺と高さは必ず垂直
●複雑な図形の面積を求める場合は、 補助線を引いて考える。 辺に対して垂直に補助線を引くのがポイント
(2) 複雑な図形の面積
(1) 三角形の面積
【公式(定義からわかること) 1
補助線を引いて面積を求める
三角形の面積=底辺x高さ2
(例) 右図の四角形の面積は?
7cm
(答)
高さ
高さ
底辺
高さ
対角線を引いて、 2つの三角形の面積
の合計を求めると、
8cm
÷
ア: 5×8 + 2 = 20[cm²]
ア
底辺
底辺
イ: 2×7+2=7[cm²]
2cm
底辺と高さは必ず垂直
底辺は三角形の辺ならどれでも良い
20+ 7 = 27[cm²]
75°75°や15° 15°の二等辺三角形のように、
30°が作れそうなときは、 辺に対して垂直に補助線を引く
5cm
Copyright (C) 2025 MATSUDA Takahisa
2025/10/4
どの辺を底辺にするか、 色んな見方を試す!
(例) 右図の二等辺三角形の面積は?
(例)
4cm
(答)
300 三角
三角形の面積は何cm²ですか?
定規
3cm
4cm
辺を伸ばしてもう一つの頂点から B
垂直になるように補助線を引くと、
C
(答)
外角より、 角HAC = 15° + 15° = 30°
底辺が3cm、高さが4cmなので、
3×4+2=6[cm]
5cm
(例)
角AHC=180° 90°-30°=60°になるので、
三角形AHCは三角定規の形で、 HC = AC + 2 = 4+2=2[cm]
したがって、三角形ABC = 4×2+2=4[cm2]
三角形の面積は何cm²ですか?
(答)
(例) 右図の二等辺三角形の面積は?
2.4cm
底辺が5cm、高さが2.4cmなので、
5×2.4 + 2 = 6[cm²]
5cm
(略解) 底辺に対して垂直になるように
補助線を引くと、 高さが2cm
4×2 + 2 = 4[cm]
75°
2cm
三角
定規
14cm-
30°
6