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重要 例題120 素数の問題(余りによる整数の分類の利用)
[早稲田大,東京女子大)
81 (
基本117
あることを示せ。
イn, n+2, n+4の中にnが含まれている。
5 7 11 13
指針> nが素数でない場合は条件を満たさない。
nが素数の場合について, n+2, n+4の値を調べてみ
ると右の表のようになり, n, n+2, n+4の中には必ず
3の倍数が含まれるらしい, ということがわかる。
よって, n=2, 3のときは直接値を代入して条件を満た
すかどうかを調べ, n が5以上の素数のときは,
n=3k+1, 3k+2 の場合に分けて, 条件を満たさない, すなわちn+2, n+4のどちらかか
素数にならないことを示す, という方針で進める。関 TSIAHS
n
2
(3
4
5
7
9
13 15
10 15 10
n+2
n+4
6
○:素数,
:3の倍数
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CHART
整数の問題 いくつかの値で 小手調べ(実験)一→ 規則性の発見
解答
F3e 43 数のうち, nが素数でな
nが素数でない場合は, 明らかに条件を満たさない。
nが素数の場合について
[1] n=2のとき,n+2=4となり,条件を満たさない。
[2] n=3のとき, n+2=5, n+4=7で, 条件を満たす。可
[3] nが5以上の素数のとき, nは 3k+1, 3k+2 (kは自然
数)のいずれかで表され
いるす人
爆遊 い。
n+4(=6) も素数でない。
お,十
n=3k (n25)は素数にな
らないから,この場合は考
えない。
(i) n=3k+1のとき
n+2=3k+3=3(k+1)
k+1は2以上の自然数であるから, n+2は素数にならず, 。
条件を満たさない。
(i) n=3k+2のとき
k+2 は3以上の自然数であるから, n+4は素数にならず,
条件を満たさない。
以上から,条件を満たすのはn=3の場合だけである。
の断りは重要。k+1=1
とすると, n+2=3(素数)
となるため,このように書
いている[(i) でも同様]。
さケ食0お余
n+4=3k+6=3(k+2)
よケ
然自 お 歯平)
