「ーーー 問題 2015年度横浜国立大学理工学部入試問題
自然数を2個以上の連続した自然数の和で表すことを考える。例えば、42 は
3+4+・・・・填9のように2個以上の連続した自然数の和で表せる。次の問い
に答えよ。
(1) 2020 を2 個以上の連続した自然数の和で表す表し方を全て求めよ。
(2) を0以上の整数とするとき、29は2 個以上の連続した自然数の和で表せ
ないことを示せ。
(3) gヵを自然数とするとき、2(2ヵ+ 1)は 2 個以上の連続した自然数の和で
表せることを示せ。
(解法)
1) 2020=⑩+(《+)+・・・・+人fk+ー2)+(k+ー1) ・・・・①
のように、初項をと してヵ個の連続した自然数の和で表せたとする。
2020=PCRrD 。。 ら 4040=x(2k+mー1 ・・・・⑨
が成立する。②の右側の式から
れ(2をカー1)三23・5・101 veo(⑨)
となる。ここで、
2kキカー1カ2 かつ 2k+カー1の偶奇性は異なる <の
ことから、③が成立するのは次の組み合わせしか存在しない。
⑭, 2をキャー1)三(5.808) ,(8.505).(40,101) ANo)
(ヵ, )三(5,402) ,(8.249) ,(40.31)
(n, )三(6,402)のとき、 402+408+・・・・+406
(n, )=(8,249)のとき、 249+250+・・・・+256
(n, )三(40.8310のとき、 31+82+・・・・+70
