写真はロピタルの定理をε-δ論法を用いて証明したものについてですがらわからないことが3つあります。 ①なぜδをさらに小さくすると、青線のような不等式が成り立つのですか？ ②どの部分の不等式を変形したら赤線の不等式が出てくるのですか？ ③赤線の不等式が成り立つときなぜ定理が証... Read More

定理4.6 f(x),g(x) が (a,b) 上の微分可能な関数で lim f(x) = lim_g(x) =+∞ エロ+ f'(エ) をみたしているとする。 このとき 極限 lim = = A が存在するならば x+a+ g'(x) f(x) lim == A za+ g(x) が成り立つ。なおこの定理は lim の部分をすべて lim あるいは lim, +α14 lim におきかえても成立する. b- 8 ◆証明 任意の0<<1に対して,あるδ0が存在し,a<x<a+δに対して f'(x) A-< <A+EAKE g'(x) が成り立つ。必要なら80をさらに小さくとって,f(x)>0,g(z) >O(a<x< a+δ) となるようにできる。 コーシーの平均値定理から, a<x<a +δに対して,あ ∈ (+8)が存在し, f(x)-f(a+8) f'(g) = g(x) − g(a+8) g'(§) が成り立つ。ゆえに A-ε< f(x)-f(a+8) である. したがって f(x) = + g(x) g(x) である. ここで 9(x) − g(a+6) = 1 g(x) g(a+6) (エ) f(a+8) →1 (x → a+), g(x) − g(a + 8) f(x)-f(a+δ)g(x)-g(a+8) f(a+8) 9(x) g(x) − g(a+8) <A+e 価 以 grat (エ) 0(土)であるから,必要ならばさらにを小さくとることにより1> g(z)-g(a+6) f(a +8) g(x) >1-ɛ, 0< <e としてよい。ゆえに g(x) f(x) (A+c) +g> >(A-) (1-e)=A-e(A+1-c) g(x) が成り立つ。よって定理が証明された, 残りの主張も同様の議論で証明できる.

写真の式の赤枠についてですが、 h→0からk→0と書き換えられる理由は、 lim[h→0]のときのk=0はk→0と同値？(k=0とk→0は同じ意味)だからですか？

考える. k=g(x+h)-g(x) limg(x+h)=g(zr), h-0 xth) glatk lim f(g(x+h))-f(g(x)) ƒ(g(x+h))−ƒ(g(x))¸g(x+h)−g(x) h→0 h \ƒ(g(x)+k)−ƒ(g(x))_g(x+h)−g(x) ..(*) f(g(x)+k)-f(g(x)) f(g(x) + k) —ƒ (g(x)) = f'(g(x)) k - lim/(g(z)+k). h→0 lim h→0 とすると,g(x) は連続なので, すなわち limk=0 である. h→0 lim h→0 g(x+h)-g(x) h =lim h→0 =lim k-0 =g'(x) (815). g(x+h)-g(x) h (UK) h

以下の問題に関して,δのとり方の発想がよく分かりません. |√(x+1)-2|=|√(x-3+4)-2|<|√(δ+4)|+2 となるのかな？と思ってるんですが,そこから先どうすればいいか分かりません. ご教授頂けませんか？

第1章 R 上の徴分 12 e- 式論法 limVx+I=2 であることを e-6式論法によって証明せよ。 eEC 例題3 E→3 Basic Point y=Vx+1_ lim f(x)=« 本双 分や 2+ エ→a 2 >0 2-6 Ve>0 ヨ8>0V (0<エ-a|<6→げ(x) -aki -1 0 (2-e)2-1 3 (2+e)2-1 x 【解】 与えられた:>0に対して, >0を次のように決める: (i) e<2 のとき: 0150 8=4e-e? とおくと, 08S 8は4e-'以下の面 なら何でもよい。 oint 0<|x-3|<8 すなわち 0<|x-3|<4e-e? のとき, 3-(4e-e?)<x<3+(4e-e") (2-6)?<x+1<(2+e)?-2e?<(2+e)? 2-8<Vz+1<2+e : Va+I-2|<e (ii) e>2 のとき: 8=4 とおくと, 0<|x-3|<8すなわち 0<|x-3|<4 のとき, e=0の場合が大切で って, e>2 の場合は 式的なつけたり、 0<x+1<8 . 0<Vx+1<V8<4 IVa+1-2|<2<e

数列の極限の式変形を証明するためにε-δ論法を用いています。が、|(an+c)-(a+c)|<εが示されて何故極限がa+cだと言えるとわかるのですか、

問21 リ仕意のE>0 に対し、lim Qn= a より, とを3自然数hoか今在する。5.2 0 ト seNoRU 2- 詳しょうとや nzno ならば,|1am-al <s 2.ag'a イ作もせ 良、 M2no のとき、 110,t+2 1(arCl = lan-al<& 従、2.イ仕定のE>o に対し nz ne ならな 1lartc)- (atol<s 互ので、 lm lant= ate. atC, い→つ

ε-δ論法によう証明方法を教えて下さい

(4 へ す(%) 3 (hn二 0 Cテそ6) (*=o) (+、%=o でぞ吉培す3。

e^sinxって(−∞,∞)で連続でしょうか？ sinxは−∞,∞で連続だと思うのですが

閉区間［a.b］での連続、開区間(a.b)での微分可能はどのように確認するんでしょうか🙇🏻‍♀️💧

√2=2の証明の否定 l2距離において斜めは√(x^2+y^2)で表され、l1距離ではx+yで表されるが、dxとdyを0に近づけたらl2距離に近似され、√2=2になる、という問題を聞きました。 これに対して、任意のdx,dy>0で | √(dx^2+dy^2)-(dx+... Read More

合悪た => (の3を + 山2 1 4 6 1 尼 還たに 委| 6 バテニス キッメ オニ) 2Aニ2 xr 6 Myo Yo12U0、 の2の2 に [大宮6xi49|の 6-7 を仙六6おを2 、Aが (< 2條下、 |引く 国fl (に Yoの4229) で4語誠和

示し方がわかりません。解ける方是非お願いします。

lm oc。ー1 とする. lim os"ー1 を示せ. なつoo ゃっoo jim et"ニ1 を示せ.. るoo

ε-δ論法 δの求め方教えて下さい