例題 5 極限の性質
(1) 数列{a}において, lim 2an +3
81U
3an +2
****
第1
-=1 のとき, lima を求めよ.
n→∞
(2) lim(√n+an+2-√n+2n+3)=3 が成り立つとき,定数a の値
n→∞
を求めよ.
Fagol
考え方 (1) 条件式 lim
→∞
2an+3
3a,+2
805
=1 について,b=
2am+3
とおく.
3an+2
次に,「am をbm を用いて表す」, 「limb„=1 を利用する」の2点に着目する.
(2)与えられた式の左辺を計算し,まず, 極限値をαを用いて表す.
その極限値が3であることから,aの値を求めればよい.
与えられた式の左辺は,~∞の形になるので,分子の有理化をする.(p.24)
2an+3
舞合
(1) lim
11-0
2an+3
3an+2
1 ......① とする.
bn=
とおくと,
3an+2
(3an+2)bn=2a+3
b" とおいて,
ここに注目して
an
(3b-2)an 3-2bn
3-2bn 800
a を b で表す.
・②
3bn-2
bn= とすると、
2/9
また①より、 lim bn=1
(3)
3
(左辺) = 0,
11-00
よって、 ② ③より lima=lim 3-26_3-2・1
5
(右辺)
=1
3
n→ co
3b-2
3.1-2
より、矛盾するので,
(2) lim(n+an+2-√n²+2+3)
2
1100
bn
(n+an+2)-(n2+2n+3)
=lim
→∞
=lim
11-0
=lim
√n+an+2+√2+2+3
(a-2)n-1
√n+an+2+√2+2+3
(a-2)
lim an
MAN
1
n
11-8
a
2
2 3
a-2
2
2
+ +. 1
+
n
n
n n
よって, 極限値が3であるから,
a-2
=3より,a=8
2
3
∞∞の形なので,
分子の有理化をする.
+8
8
の形なので,
分母,分子を
n=m²)で割る。
200
