例題 5 極限の性質 (1) 数列{a}において, lim 2an +3 81U 3an +2 **** 第1 -=1 のとき, lima を求めよ. n→∞ (2) lim(√n+an+2-√n+2n+3)=3 が成り立つとき,定数a の値 n→∞ を求めよ. Fagol 考え方 (1) 条件式 lim →∞ 2an+3 3a,+2 805 =1 について,b= 2am+3 とおく. 3an+2 次に,「am をbm を用いて表す」, 「limb„=1 を利用する」の2点に着目する. (2)与えられた式の左辺を計算し,まず, 極限値をαを用いて表す. その極限値が3であることから,aの値を求めればよい. 与えられた式の左辺は,~∞の形になるので,分子の有理化をする.(p.24) 2an+3 舞合 (1) lim 11-0 2an+3 3an+2 1 ......① とする. bn= とおくと, 3an+2 (3an+2)bn=2a+3 b" とおいて, ここに注目して an (3b-2)an 3-2bn 3-2bn 800 a を b で表す. ・② 3bn-2 bn= とすると、 2/9 また①より、 lim bn=1 (3) 3 (左辺) = 0, 11-00 よって、 ② ③より lima=lim 3-26_3-2・1 5 (右辺) =1 3 n→ co 3b-2 3.1-2 より、矛盾するので, (2) lim(n+an+2-√n²+2+3) 2 1100 bn (n+an+2)-(n2+2n+3) =lim →∞ =lim 11-0 =lim √n+an+2+√2+2+3 (a-2)n-1 √n+an+2+√2+2+3 (a-2) lim an MAN 1 n 11-8 a 2 2 3 a-2 2 2 + +. 1 + n n n n よって, 極限値が3であるから, a-2 =3より,a=8 2 3 ∞∞の形なので, 分子の有理化をする. +8 8 の形なので, 分母,分子を n=m²)で割る。 200