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基礎問
730
128 和と一般項
12/28 12/29 1/10
22173/281729
(3)DVER
数列{an} の初項から第n項までの和 Sn が
Sn=-6+2n-an (n≧1)
で表されている.
(1) 初項 α1 を求めよ.
(2) an と an+1 のみたす関係式を求めよ.
(3)
anをnで表せ.
数列{an} があって,
精講
a1+a2+…+an=Sn
とおいたとき,an と S” がまざった漸化式がでてくることがありま
す. このときには次の2つの方針があります.
I. α の漸化式にして, an をn で表す
II.Sの漸化式にして, Sn をnで表し, an をnで表す
このとき,I, II どちらの場合でも次の公式が使われます.
n≧2 のとき, αn=Sn-Sn-1, a=S1
(n=1のときが別扱いになっている点に注意 )
解答
Sn=-6+2n-an (n≧1)
(1) ① に n=1 を代入して,
S=-6+2-α1
a = S だから, a1=-6+2-α1, 2a1=-4
a1=-2
(2) n≧2 のとき,①より,
Sn-1=-6+2(n-1)-an-1
.. Sn1 =2n-8-an-1
① ② より,
2
(15) ....
Sn-Sn-1=2-an+an-1
:.an=2-an+an-1
(E)
1
an=1/21an-1+α(≧2)
197
よって, an+1=
= 1/2 an+1 (21)
??.
(別解) ①より,S,+1=-6+(n+tax+1
②① より,
Sn+1-Sn=2-an+1+an
an+1=2-an+1+an :
an+1=
=1/21an+1 より an+1-2=1/2(an-2)
(3) an+1=
また, α-2=-4 だから,
an-2-(-4)()
..
an-2-24-1-2-21-3
1
2an+1
<a=1/24+1の解
α=2を利用し
an+1-α=
と変形
ポイント
(すなわ
のからんだ漸化式からΣ記号を消
)
したいとき,番号をずらしてひけばよい
注ポイントに書いてあることは,に書いてある公式を日本語で表した
ものです。このような表現にしたのは,実際の入試問題はの公式の形
で出題されないことがあるからです。 (演習問題 128 (2))
演習問題 128
<Sn-Sn-1=an
(1) 数列{az} の初項から第n項までの和 S が次の条件をみたす.
S1=1, Sn+1-3S=n+1 (n≧1)
(i) S を求めよ. (ii) a を求めよ.
(2) a1= 1, kanan (n≧1) をみたす数列{an} について,
k=1
の問いに答えよ.
(i) an
In を an-1 (n≧2) で表せ.
(ii) a n を求めよ.
