数列の極限の式変形を証明するためにε-δ論法を用いています。が、|(an+c)-(a+c)|<εが示されて何故極限がa+cだと言えるとわかるのですか、

問21 リ仕意のE>0 に対し、lim Qn= a より, とを3自然数hoか今在する。5.2 0 ト seNoRU 2- 詳しょうとや nzno ならば,|1am-al <s 2.ag'a イ作もせ 良、 M2no のとき、 110,t+2 1(arCl = lan-al<& 従、2.イ仕定のE>o に対し nz ne ならな 1lartc)- (atol<s 互ので、 lm lant= ate. atC, い→つ

(1)~(3)の証明問題がわかりません。回答でなくヒントや道筋でも良いので教えて頂きたいです。(1番に関しては成り立たないのでは、、、？と思っています、反例がみつかってはいないですが)

(1) {an}を増加数列,{b,}を減少数列とし,an S bn (n= 1,2, ) が成り立つとする。 このとき,{an}, {bn} はともに収束し, lim an lim bn が成り立つことを示せ。 n→0 n→0 (2) 数列 {cn}と関数 f(z) について,lim zn = a, lim f(z) = 1 ならば,lim f(en) = 1 n→0 C→a n→0 であることを示せ。 (3) 閉区間 [a, b] 上の連続関数 f(z)と実数kがf(a) <k<f(b) をみたすとする。 このとき,c= sup{z € [a, b| | f(z) < k} に対して,f(c) = k が成り立つことを示せ。

解析学のフーリエ級数のあたりの話で、 f＊g(x)=g＊f(x)となることはどのように示せばいいですか？ やはりε-δ論法ですか？

ε-δ論法によう証明方法を教えて下さい

(4 へ す(%) 3 (hn二 0 Cテそ6) (*=o) (+、%=o でぞ吉培す3。

lim(x→1)(2x+1)=3をε-δ論法で示せ。 という問題の証明を教えてください。

0.99...99=1をε-δ論法で示せ。 という問題の証明を教えてください。

微分可能であることを定義に従ってε-δ論法で示せとあります。教科書の例では、δじゃなくてΔを使って説明しています。Δを使ってもε-δ論法で示したことになるんですか？

(1)の解説で、(x－3)で割っていますが、x→3のときx-3＝0なので割ってはだめなのではないですか？ またこの問題を違うやり方で解く方法はありませんか？

由 オグ一 所 jm テー3 1 を講たす定数 「属: 全 ー(Go寺x+の | ヵ 坦- デー5z+6 一二=衣を箇 剛 ただし 2<く0 とする5 し 分数の 4 -とを利用する、 人人が存在するなら なお これは極限値が存在するための更和 すそ机 な (0 *ー3 のとき, (分量=0で 代が存在す - 且 (の子)ー0 である し る 1せwvoge Hm(oxすがe)=ニ3かが3=94+30=0 林限倫は存在しな ょり, 5=ー3g ……⑪⑱ にさ ①よ り、与式の左辺は, ー 1 セー3oz詳 = ao rp ー で分する- したがって, 3g三12 より,g=4 であり ①から, 2ニー12 ェャューテ める値は 。 z三4 ヵりニー12

e^sinxって(−∞,∞)で連続でしょうか？ sinxは−∞,∞で連続だと思うのですが

以下の解答をそれぞれ教えてください。 お願い致します🙇‍♀️🙇‍♀️🙇‍♀️

国 (0) 任意の実数 e に対して sin(2Tan_ Jo) = - 。 となることを 示せ。 (2) Cos-!> = E + 2Tan~「o が解をもつようにo の範囲を定め」その きの解を求めよ. 了 以下の(), (ii) それぞれの定義を=論法の言葉で述べよ. ) km 7⑥) = oo (0 jlim 7(<) = 4. (4 は有限値 )