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◆8 恒等式・
(ア) 恒等式 +7.2-3-23-14
=a+bx+cx(x-1)+dx(x-1)(x-2)+ex (x-1)(x-2) (x-3)
が成り立つとき,定数ae の値を求めよ.
(九州産大・情報科学, 工)
(イ) 次の式がxについての恒等式になるように, 定数a, b, c の値を定めなさい.
x3+2x2+1=(x-1)3+α(x-1)2+6 (x-1)+c
( 流通科学大)
(ウ) x+y=1を満たすx, yについて, ax2+bxy+cy2=1が常に成り立つように a, b, c を定めよ.
(龍谷大理工 (推薦))
係数比較法と数値代入法 多項式f(x) g (x) について, f(x) =g(x) が恒等式になる条件を
とらえる主な方法は,次の1と2の2つである.
1 f(x) g (x)の同じ次数の項の係数がすべて等しい.
② f(x), g(x) の (見かけの) 次数の高い方を次式とするとき,
異なる n +1個の値に対して, f(x) =g(x) が成り立つ.
xpで展開
(イ)の右辺を 「æ-1について展開した式」 というが, どんな多項式もかについ
て展開した式として表すことができる。 この形にすれば (x-p) で割った余りなどがすぐに分かる.
(イ) を右辺の形にするには,左辺の各項を,r={(x-1)+1}' などとして展開すればよい.
等式の条件 1文字を消去するのが原則である(本シリーズ 数Ⅰ p.16).
解答(分)
(ア) 与式の両辺にx=0を代入して, a=-14. αを移項し両辺をxで割って,
3+7x2-3-23
=b+c(x-1)+d(x−1)(x-2)+e(x−1)(x-2) (x-3) .............
両辺にx=1,2,3,0を代入して,
-18=b,7=6+c, 58= 6+2c+2d, -23=b-c+2d-6e
∴.6=-18,c=25, d=13, e=1
(イ) x3+2x2+1={(x-1)+1}+2{(x-1)+1}2+1
={(x-1)+3(x-1)2+3(x-1)+1}+2{(x-1)2+2(x-1)+1}+1
=(x-1)3+5(r-1)2+7 (x-1)+4
(=5, 6=7,c=4)
(ウ) y=1-xであるから, ax2+bx (1-x)+c(1-x)=1
これがェによらず成り立つから, æ = 0,1,-1を代入して
c=1, a=1, α-26+4c=1
a=1, c=1, b=2)+
(1)にπ=1を代入しを左に移し両辺をx-1
で割る. '代入'と '割り算” を繰り返して求めることもできる.
注 (イ) 与式にx=1を代入し, c=4. 両辺をxで微分して
32+4x=3(x-1)2+2a(x-1)+b.x=1 を代入し, b=7.(以下略)
多項式の恒等式が両辺ともにx
を因数に持てば、両辺をェで割っ
た式も恒等式.
e=1であることは、 元の式の両
辺のx4の係数を比べることでも
分かる。 このような考察をして
ミスを防ごう.
)(x+y=1となる.
次にx=2を代入してcを求め, c
を移項して2で割る.
'代入”と“微分”を繰り返して
求めることもできる.
(+税)
8 演習題(解答は p.27) -
(ア) すべてのに対して,-32+7=α(x-2)3+b(x-2)+c(x-2) +dとなる
数a, b, c, d を求めよ.
(福島大 共生システム理工)
(イ)x3y-z3, x+y+z=-5を満たすx, y, zのすべての値に対して
ax2+2by2+cz'=24が成り立つとき,a=,b=,c= である.
2
(イ) 等式の条件を扱う
本日)
(京都先端科学大・バイオ)
基本は?
15
