an-1をanとしたということですか？

途中からn≧2で進めているので、a[n-1]やS[n-1]が出るのは問題ないです。n=1については最後に確認が必要です。

模範解答のやり方ではa[n-1]などが出ないため、n=1とn≧2の場合分けが不要になります。なので模範解答の方が理想的ですね。

> an-1をanとしたということですか？

いいえ。その変形はしていません。3→4行目では、
a[n]+2=2/3(a[n-1]+2)
の表す情報から、数列{a[n]+2}の初項がa[1]+2で、公比が2/3であることを読み取っただけです。

本の解答でも同じようなことをしていて、
a[n+1]+2=2/3(a[n]+2)
の表す情報から、数列{a[n]+2}の初項がa[1]+2で、公比が2/3であることを読み取っています。

結局、
a[n]+2=2/3(a[n-1]+2) (n≧2)
と
a[n+1]+2=2/3(a[n]+2)
は全く同じ情報を持っているので、どちらのやり方でも解けるということです。

訂正
3→4行目ではなく、2→3行目です。