Porta HOSHA 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 (1) α1=2, an+1=2an-2n+1 (2) a1=3, an+1+3an=4(2n-1)

(2) an+2=-3an+1+8(n+1)-4, an+1=-3an+8n-4 辺々引いて ◆階差数列を利用。 an+2-An+1=-3(an+1-an) +8 bn=an+1 -an とおくと bn+1=-36+8 ･･････ ① また b=az-a=-3・3+8-4-3-8 ①から bn+1-2=-3(b-2) よって, 数列{bn-2} は初項 b1-2-10, 公比 -3の等比 数列となり bn-2=-10・(-3)"-1 ◆α=-3α+8 を解くと a=2 ゆえに bn=-10.(-3)n-1+2 よって, n≧2 のとき n-1 an=3+{-10・(-3)-1+2} k=1 に 1-(-3)n-1 =3-10° +2(n-1) 1-(-3) 5 3 =(-3)"'+2n-2 α = 3 であるから,この式は n=1のときにも成り立つ。 したがって 5 3 an=1/2・(-3)"'+2n- 2 b=-10・(-3)"-1+2 を求めた後は an+1+3an=4(2n-1) an+1-αn=-10·(-3)"-1+2 から an+1を消去して 5 an = (-3)-1+2n-13/1 An と求めてもよい。