基本的には、知能ハンターさんのおっしゃるように、箱ひげ図では具体的な値がわからないため平均値を出すことができません。
ピンポイントで値がわかるのは、最大値と最小値、母数が奇数の場合は中央値などです。

しかし、条件から、平均値を割り出せる極めて特殊な問題設定の場合があり、本問はこれに該当します。

本問では母数が20日、35個の日が4日→最頻値になるためには20個の日は5日以上であることから、半分以上の値が具体的にわかります。
あとは四分位数などの条件から値を絞っていき、整数問題に帰着します。

極めて面白いパズル問題で良問です。以下、解答です。たぶんあっていると思います。