問題 24-3 難 数字の2が書かれたカードが2枚, 同様に, 数字の0 18が書かれ たカードがそれぞれ2枚, あわせて 8枚のカードがある。 これらから4 枚を取り出し、横一列に並べてできる自然数をnとする。 ただし, 0の カードが左から1枚または2枚現れる場合は, nは3桁または2桁の自 然数とそれぞれ考える。 例えば,左から順に 0, 0, 1, 1の数字のカー ドが並ぶ場合のnは11である。 (1) nが9の倍数である確率を求めよ。 (2)nが偶数であったとき、nが9の倍数である確率を求めよ。 であった時は (北大・改) 第 条件つき

方針 なしい 整数Xが9の倍数であるための条件は,Xの各位の和が9の倍数と なることです。 ・ 3 +4 +2 +9(18) は9の倍数なので, 34299の倍数 2 +3 +1 +6 (12) は9の倍数ではないので, 2316も9の倍 数でない ということは、数字の順番に関係なく9の倍数かどうかが決まります。 3 +4 +6 + 5 (=18) は9の倍数なので, 3465,4635,6543も9 の倍数 3, 4, 6, 5 をどの順にしても9の倍数 よって、数字の選び方を考えてから並び方を考えます(問題3-9 参照)。 問題24-3の解答 が1枚だ 残り3枚の和が1になればよい。 よって, {8, 1, 0, 0} 8が1枚も選ばれないとき カ枚の和を9の倍数にすることはできない。 (2)ってよか なのに 次に, a かb を決定し, 並べ方を考える。 (i) は ① a かb を決定する ←00 か 0 ) 2は2か2 そのおのおのに対して ② 4枚を並べる ← 異なる4枚の並べ方は4通り と順序立てると, 22 x 4!= 96 (通り) (五)は (2) 41=24(通り)←すべてるか 4!= 24 (通り) ()は 「同じものでも区別する 8枚のカードを区別して 2a, 2b, 0a, Ob, 1a, 1b, 8a, 8b ① 12a Oa la 8a とする。 aかbを決定する ←8は8か81は1.1 そのおのおのに対して 「nが9の倍数である」 という事象を A, 「n 2b Obl |1b 8b が偶数である」 という事象をBとする。 ② 4枚を並べる ← 異なる4枚の並べ方は4通り と順序立てると, 802162 あの 4枚のカードを取り出して、横一列に並べる 並べ方の総数は 8P4=1680 (通り) なんで どのように並べても 22 x 41=96(通り) ① なぜこの手になるので abha 6 以上, (i), (i),()より, nが9の倍数となるのは, 96 + 24 + 96 216 (通り) よって、 遠いやつかの倍数になる (1) nが9の倍数となるような数字の選び方は、次の3つの場合である。 (i) {8a, 80 2 (i) {8a, 8b, 1, Ib} (iii) {8, 1, 0a, Ob 選び方 8, 8 の両方とも選ばれる。 8は2枚選ばれるので, 0は0。 でも でもよい。 22. でも26 でもよい。 各位の私が 8のカードが何枚選ばれるかで場合分けします。 8 が2枚とも選ばれるとき (8 + 8 = 16 ) 残り2枚の和が2になればよい。 よって, {8a, 8b, 0, 2} または {8a, 8b, 1a, 1b} 2a 0 la 2016 18 以外のカード> どっちがたり (2) ① P(A) 216 9 = -1680 -70 nが偶数となるのは, 一の位を決定するのは偶数 (2.2.0 & の6通り) そのおのおのに対して ② 十~千の位を決定する 残り7枚から3枚列 と順序立てると, 6 x P 通り ① 2 第24章 条件付き確率 271

次に, ABについて考える。 nが9の倍数となる数 (1)の(i)~(Ⅲ)の3つの場合である。今度は,これらの数字を偶数であるよう に並べる。←一の位が偶数であるように並べればよい ( i ) は, どのように並べても偶数であるから, (1) より 96通り (i)は, ① 一の位を決定する ← 8 または8の2通り ど ↓そのおのおのに対して ② 十~千の位を決定する と順序立てると 2×3!12 (通り) ①) ② (Ⅲ)は, ① a かbかを決定する そのおのおのに対して ② 一の位を決定する ←残り3枚の並べ方 12 3430 ←8は8か8b, 1は1か16 そのおのおのに対して ③ 十~千の位を決定する 8か0か0bの3通り (▲は①で決定されたa か b ) みと 一の色 イベ W と順序立てると, △=aから M 2 22 × 3 × 3! = 72 (通り) ①②③ のどちらか へなんでし よって, nが9の倍数かつ偶数 (A∩B) となるのは, 96 + 12 + 72=180 (通り) これより. 180 3 P(A∩B) 1680 28 であるから求める答は