数上級プラン120 (共通テスト対策) 問題119] 変数xの範囲を動くとき,xの関数 f(x)=2(sinx+cosx)+3(sinx+cosx-1) sin 2x について, 次の問いに答えよ。 (1)t=sinx+COSx とおく。 (10xの範囲におけるt=sinx+cosx のグラフの概形として最も適当なもの 次の①~③のうちから1つ選べ。 1 t 0 -1 T 4 ② 1 V21 TT 3 x 0 3 x 4 4 -1 IT 4 0 -1 34 k TC ③ t 1 KA 1 4 x -1 √√2 34 k x (ii) tsinx+cosx のグラフの概形から, αを定数とした方程式 sinx+cosx=a 異なる実数解の個数は, イウ≦く I a=√ オ のとき エ≦a<オのとき 1個, 個 である。 12. カ (iii) sin x cos x=- であるから, キ t sin 3x + cos³x=- ケ-t2), sin2x=コ ク である。 したがって, f(x) をtの関数 g(f)で表すと g(t)=サーシ^2+ スである。このとき, tのとりうる値の範囲は, イウオ である。この範囲において,g(t) は t= セのとき最大値ソ t=タチのとき最小値ツテをとる。 (2) を実数とする。 0xの範囲において, 方程式 f(x) = k は異なる実数解を最大 でト 個もつ。また、そのときのんの値の範囲は + <k<=√ヌーネである。

t=-1のとき最小値 2 をとる。 (2) (iii) から, y=g(t) のグラフは右の図のようになる。 4/2-3y1 ここで, (ii)より, 曲線 y= g(t) と直線y=kが-1≦t<1, =√2 の範囲で共有点をもつとき,その共有点1個に対し て, 方程式 f(x) =kの実数解が1個存在する。 3 y=k y=g(t) また,曲線 y=g(t) と直線 y=kが1st<√2 の範囲で共 有点をもつとき, その共有点1個に対して, -1 0 12.7 方程式f(x)=kの異なる実数解が2個存在する。 -2 −2≦k<2,k=3のとき, 曲線y=g(t) と直線y=kは -1≤t<1の範囲で共有点を1個もつから, 方程式f(x)=kの実数解の個数は 1個 k=2のとき, 曲線 y=g(t) と直線y=kは-1≦t<1の 範囲で共有点を1個, 1st<√2の範囲で共有点を1個も つから, 方程式 f(x) = k の異なる実数解の個数は 3個 tt t=sin x + cos √√2 O

2k<4√2-3のとき、曲線y=g(t) と直線y=kは 11 の範囲で共有点を2個, 1st<√2 の範囲で共 有点を1個もつから, 方程式f(x) = k の異なる実数解の個 数は 4個 t=sin x + cos I √√√2 O -11 k=4√2-3のとき, 曲線 y=g(t) と直線 y=k は -1≦t<1の範囲で共有点を2個, t=√2 で共有点を1個 もつから, 方程式 f(x) = k の実数解の個数は 3個 4√2-3<k<3のとき, 曲線y=g(f) と直線y=kは -1≦t<1の範囲で共有点を2個もつから, 方程式f(x)=k t=sin x + cost の実数解の個数は 2個 -0 以上から, 方程式f(x)=kは異なる実数解を最大で4個 -1 もち,そのときのの値の範囲は 2 <k<4v2-3