16 新課程試作問題 数学Ⅰ 数学A <解答> 第3問 やや難 図形の性質 《角の二等分線と辺の比, 方べきの定理》 線分AD は BACの二等分線なので 2021年度本試験(第1日程) 「数学Ⅰ 数学A」 第5問に同じ A る BD: DC=AB: AC=3:5 であるから = 8 BD=345 BC-3-4-3-2 ア △ABCにおいて 318 AC2 = AB2+BC2 が成り立つので,三平方の定理の逆より,∠B=90°である。 直角三角形 ABD に三平方の定理を用いて AD'=AB2+BD2=32+ ( +2=45 4 AD>0より AD= 45 4 35 ウエ =1 2 オ また,∠B=90° なので、円周角の定理の逆より △ABCの外接円 0の直径は AC である。 A AP= 5 →ク 新課程試作問題 数学Ⅰ. 数学A (解答) 17 Pは△ABCの外接円0に内接するので,円Pと外接円 O との接点Fと,円Pの中 心Pを結ぶ直線PF は, 外接円Oの中心を通る。 これよりFGは外接円の直径なので であり FG=AC=5 PG=FG-FP= - したがって, 方べきの定理より 0 AP・PE=FP・PG B AP (AE-AP)=FP・PG √5r (2√5-√√5r) =r (5-r) 4y2-5r=0 r (4r-5)=0 PX D F E C <B Tube ok 対 B D /c と表せる。 4 はっていると とはいえない 円周角の定理より ∠AEC=90° 20 なので, AEC に着目すると, △AECと△ABD に おいて, CAE = ∠DAB, ∠AEC= ∠ABD=90° より,AEC△ABD であるから B D AE: AB=AC: AD E 3√5 3√5 AE:3=5: AE=15 2 2 2 ∴. AE=15×- = 2 3√5 5 →カ, キ A 円Pは△ABCの2辺AB, AC の両方に接するので 円Pの中心Pは∠BACの二等分線AE 上にある。 円P と辺AB との接点をHとすると ∠AHP=90° HP =r HP // BD より AP: AD=HP: BD H B AP: 3√5 2 3 3 3/5 =r: 2 ZAP- 2 L F D P E 5 >0 なので コ r= 14 ので 内接円 Qの半径を とすると, (△ABCの面積)=(AB+BC+CA) が成り立つ 1 1.3.4 ='(3+4+5) よって, 内接円Qの半径は 1 ∴.r'=1 →シである。 内接円 Qの中心Q は, ABC の内心なので, <BAC C の二等分線 AD 上にある。 内接円 Qと辺 AB との接点をJとすると ∠AJQ=90° JQ=r'=1 なので,JQ // BD より AQ: AD=JQ:BD 3√5 3 AQ: -=1: ..AQ=√ 2 2 AQ= 3 3/5 2 CLA 5 →ス である。 また,点Aから円Pに引いた2接線の長さが等しい ことより AH=AO= AC 5 2 = 2 セソ JQ B D C H P B D 0

問題 数学Ⅰ 数学A 第3問 (配点 20) △ABCにおいて, AB = 3, BC = 4, AC = 5とする。 ∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると BD = ア イ ウ H AD = オ である。 また,∠BACの二等分線と△ABCの外接円 0 との交点で点Aとは異なる点をと する。 △AECに着目すると AE = キ である。 △ABC の 2辺 AB と AC の両方に接し, 外接円 0に内接する円の中心をPとする。 円Pの半径をとする。 さらに,円Pと外接円0との接点をFとし, 直線 PF と外接 円 0との交点で点Fとは異なる点をGとする。このとき上 | AP = ク |r, PG = ケ |-r コ と表せる。 したがって, 方べきの定理によりr= である。 A 0 も 新課程試作問題数学Ⅰ. 数学A 19 △ABCの内心をQとする。 内接円 Qの半径は シで,AQ= スである。 セ また,円Pと辺AB との接点をHとすると, AH= である。 ソ 以上から,点に関する次の(a) (b)の正誤の組合せとして正しいものは タ である。 (a)点Hは3点 B, D, Qを通る円の周上にある。 (b)点Hは3点 B, E, Qを通る円の周上にある。 タ の解答群 ① (a) 正 (b) 正 ②正 正 ③