1 オイラーの多面体定理 過去問にチャレンジ 一般の凸多面体 (へこみのない多面体)の頂点の数 v, 辺の数e. 面の数fについてv-e+f の値を考える。 例えば, 立方体の場 合で考えると,この値はアである。 以下ではv:e=2:5かつf=38であるような凸多面体について 考える。 オイラーの多面体定理によりv-e+f=アである ことがわかるので、v=e=団である。 さらに,この凸多面体は個の正三角形の面と個の正方形の 面で構成されていて,各頂点に集まる辺の数はすべて同じで あるとする。このとき3x+4 カキクであることから ケニであり、さらに ンである。 サ (2018年度センター追試験) 立方体で考えると 頂上の数

今度は, vle=2:5かつ=38であるような凸多面体を考えるよ! pe=2:5より、e=12だから、vetf=2e=5 代入すると, 5 0-120+3 V- 20, f=38を v+38=2 3 -v=36 2 v=24 5 e=2v=24を代入すると、 5 e= ・24=60 2 答えイウ:24 エオ: 60 この凸多面体が個の正三角形の面と4個の正方形の面で構成され ているとすると, f=38より, x+y=38 …① 291

次に, 辺の数に注目してみると、正三角形はz 枚だから正三角形の辺は3本, 正方形はy枚だ から正方形の辺の数は4y本だね。 もともと2本 ? よって、 辺の数は 3.x +4yとしたいけど面2枚 1本の辺を共有してるから,これを2で割 る必要があるんだ! くっついて1本 面2枚で1本共有 3x+4y よって, e=" ①を表す 2 5 e=60だから、 3.x+4y_ 途中 どのボ =60 2 オイラー したがって, 3.x+4y=120 ...② しているのか 答え カキク:120