92 指数関数の積分 次の定積分の値を求めよ. (1) fe* (e*+1)² dx ②Sites dx (3)Sore dr 指数関数のゴチャゴチャ型です。 積分においてeのもつ最大の利 精講 益は「(e*)'=e"」 ですが, その理由は 何かをひとまとめに考えたとき,その微分がかけてあれば、 必ず置換積分ができる からです (89 注)ただし,この基礎問も単にこの知識だけでゴールに着け るわけではありません. 解答 (1) S'e (e+1)' dz において, e=t とおくと x:01 のとき,t: le また, dt dx より -= e より dt=edx f(t+1)2d=113 (t+1)=1/13 (e+1)3-8 = 3 {(e+1)-2%} 無理に展開する必要はない (別解)(+1)をひとまとめと考えると,その微分は…) S(e+1)(e+1)' f(e*+1)*(e" + 1) dr={(e+1)]=(e+1"-8 dx Site において 1ef=t とおくと x-10 のとき, t:1+e→2 dt また、 dx dt e-x 1 = 1 -t より dx dt 1-t =dx

= 2 dt 1+e Siret (1-1) = Stedt 1+e t- 89 AP (11-1) = (1-1)7 [log (t-1)-log[log] =log1+-log=log 2 80= e 801- 2e 1+e