イメージしようというのが現実的でない目標です。

同一平面上にある直線は平行に無いかぎり絶対に一点で交わります。交わらないこともないし、交点が2個以上になることはありません。
だから2本直線のペアを作れば必ず一個の点と対応させられます。9本ある直線で作れる2本のペアを9C2で計算してるわけです。

はみ出しものの平行な直線の片方を特別扱いしてそいつだけ特別に交点の数を数えます。
残りの9本の直線のうち1本は平行な関係にあるので交点をつくれないですが、それ以外の8ホントはそれぞれペアをつくれるので交点は8個あるといえてそれを足しています。

それでもよくわからんというなら4本ぐらいで色違いのボールペンで具体的に書いてみてそれらの交点をつくる直線のペアの色が違う事を確認してみたらどうでしょうか