例題 130 z" + 1 の値 ★★★ zn (1) 複素数が2+ = √3 を満たすとき,230 + 2.30 の値を求めよ。 Z 1 (2)複素数がz+ 1 を満たすとき, w = z" + zn の値を求めよ。 2 ただし, nは整数とする。 思考プロセス 30 2+12/21=(2+1)と考えるのは大変。 (1) z30+ « ReAction 複素数の几乗は,極形式で表してドモアブルの定理を用いよ 例題12 具体的に考える 1 2 z+ √3より -√3+1= 0 1 解 (1) + = 2 よって 2 = 極形式 2 = √3より -√3z+1=0 √3 ±√(-√3)-4・1・1 3 土 2 1 2 -i cos()+ 2 π cos(土)+isin (±)(複号同順 6 このとき,ドモアブルの定理により 2.30 -{cos(土)+isin()} 30 =cOS (±5) +isin (±5) (複号同順) = =-1 1 ゆえに 1 = したがって 230 '+ 1 2.30 =-1-1 = -2 (2)z+ 1 - より 2 z+z+1=0 よって 解の公式 5π=π+2.2π (cos(-) = cost lsin(0)=sind -1±√3i 2 = 2 = ± cos(1/2/3)+isin (12/31) (同順) 土 このとき,ドモアブルの定理により 1 an w=z+ = 2"+2" 256 2次方程式の解の公式を 使用いてzの値を求める。 y √3 32 2. 10 2 21 9 2

={cos 2 COS 3 T+isin+ = + 2n 2 +cosl± 2 -n -π+isin ± 3 cos(±27) + isin(+27) + cos(+2x) + isin(= 27) = COS 2n =2cOS = (ア)n= 3 3 2n T±isin +COS 2n π 3 3 π干isin 3 2n 3 22/Fisin 25 (複号同順) 3 3k (k は整数)のとき w=2cos(2km) = 2 (イ)n=3k+1 ( は整数)のとき w= 2 2cos2k+ cos(2kz π) = 3 (ウ) n = 3k+2(k は整数)のとき 4 3 -0.200(0.8nial+08800/1 ドモアブルの定理を用 いる。 (cos(-0) = cos [sin(-9)=-sin (イ) y -10 2 4. 2 cos 3 n = -1 31 πT (ウ) -1 4 w=2cos (2kx+1/31)=2c0s1/32 = -1 π (ア)~(ウ)より,kを整数とすると 3 π 1 x (1) (イ)(ウ)の場合をまとめる。 n=3k±1 のときとして ={(n=3+2のときのとき Point...z+ =kのときの " + の値 Z zn 1 虚数zz+=k... ①(kは実数) を満たすとする。 Z ①より z-kz+1= 0 この2解は互いに共役な複素数z, であるから,解と係数の関係より よって |2|2 = 1 すなわち |z|=1 ゆえに,z=cos+isin とおくと z" =cosn0+isinn したがって zz=1 ◆ドモアブルの定理 + z" + zn = z" + (2")-1 = (cosn0+isinn0)+(cosn+isinn0)-1 = = (cosno+isinn0)+(cosnd-isinn0 ) =2cosn このことから,z"十 zn はnの値にかかわらず実数となることも分かる。