9 はさみうちの原理 数列{az} は, a1=2, an+1=√44-3 (n=1, 2, 3, ...) で定義されている. 次の(1),(2)では、 問題文の不等式が,すべての自然数nについて成り立つことを証明しなさい. (1) 2≦a≦3 4 (2)|an+1-3|≦lan-3| 0 (3) 極限 liman を求めなさい。 n→∞ ( ( 信州大教) 解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式 an+1=f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として,以下の方法がある. 1°an の極限が存在して, その値がαならば, liman = α, liman+1=αであるから, αは α = f (α) を n10 N18

(2)も)より | Anti-3] = $ | Au-8 | " (*t) ((水)の香酒)-((水)の左辺 香lan-31-1ant-31 1 (an-3) + (anel-3) ((1784) (4am-3)+号+anti-3 ami+anti- =(anti-50ml+6) (より) 130 (より) -F (Auth-2 Xant - 3) 30 20 したがって(水)はすべての自然数nにおいて 成り立つ、 316154 | am-3 | ≤ #lan-31 (1)より anti-3≧(an-3) an-3をbgをすると、 but = ½ bn bu = = b+ " ⑦ ④をくり返し用いると、 bnbal ≧舎・舌bu-2 ミ (4) bi b1=a1-3 -2-3=-1 An-32 - (4) ht An≤3-(4)4-1 3 ると (1)より 3-(-2)+ ≤ Qu≤3 lam | 3-(4) 14 = 31 438 はさみうちの原理より liman=3 n100 サ