288 重要 例 170 数列の和の不等式の証明 (定積分の利用) 00 1 1 log(n+1) <1+ + 2 3 nは2以上の自然数とする。 次の不等式を証明せよ。 1 n ++ <logn+1 基本 165 169 指針 数列の和1+ +1/+1/ ++ 3 は簡単な式で表されない。そこで、積分の n りる。 すなわち, 曲線 y= 式を証明する。 1 XC この下側の面積と階段状の図形の面積を比較し 自然数kに対して, k≦x≦k+1 1 1 解答のとき 1 I k+1 x k 式ア k+1 x 常に1/2 または 1/2-2/2 = x k ではないから +1 dx SSS k+1 k+1 x +1 dx +1 dx 0 123/nt x n-1 n+1 よって嘆く方 k+1 dx 1 < x k + SA's dx < 1/14 0 k nch+1 dx 4-15k *****E < " Aから x =k n+1 * S** dx = S*** dx = [logx]*** x であるから x =log(n+1) log(n+1)<1+1/3+/1/23 + + 1/1 1 k+1 < ** dx *** Cから k x kik+1 n < < I 式イ x n-1 k=1,2 として辺々を加 ©S+S+ #+1 -S • 0 123.n ① nk+ dx 41154 ES*"dx =S"dx = [logx"=logo7***6 4-1 r であるから *** ① 11. a + として辺 ...+ "1