参考・概略です

　四面体ＯＡＥＤを三角錐Ａ―ＯＥＤ，正四面体ＯＡＢＣを三角錐Ａ―ＯＢＣとすると
　　ＯＤ/ＯＣ＝1/3，ＯＥ/ＯＢ＝(3/4)/3＝1/4　より、(1/3)×(1/4)＝1/12
　　　底面△ＯＥＤ＝(1/12)△ＯＢＣで、高さが共通なので
　　四面体ＯＡＥＤの体積は、正四面体ＯＡＢＣの(1/12)

　正四面体ＯＡＢＣの体積が、公式より(√2/12)・(3)³＝(9/4)√2　なので
　　四面体ＯＡＥＤの体積は、(9/4)√2×(1/12)＝(3/16)√2