整数を2つa,b用いてa/bと書ける数のことです(割り算がある、と思えばある有理数がそこに存在している時点でb=0は除外されます)

一方、割り算の存在を一旦認めないなら、次のような順序立てで作ることが出来ます。まず、整数aに対して、ab=1となる整数bが存在するなら、それは(a,b)=(1,1),(-1,-1)しかないですね。逆に、0に対しては0a=0が常に成り立ちますから、0a=1となるようなaを考えるのはあまり合理的であるとは言えません

では、そこで0以外の整数aに対して、ab=1となるbを仮想的に考えていきましょう。これを加えた数の世界を考えますと、これが有理数になります(一方、和と差と積と商も保たれて、晴れて知っている有理数になるわけですが、これは簡単とはいえ多少ギャップがあります)