CARA 25%) 点 0 を原点とする座標空間において,ry 平面上で点Oを中心とし半径が1の 円をCとする. 円C上に点Pをとり、点Pにおける円 C の接線を l とする. 平面αは,xy 平面と直線lで交わり, xy 平面となす角が30° であり,z軸と の交点の座標が正であるとする. 平面α上の円で, 半径が3で中心のz座 標が正であり、点Pにおいて直線lと接するものをDとする. 以下の問に答 えなさい. (1) 平面αに垂直なベクトル= (a, b, √3) を考える. 点PC上を動く とき, aとbが満たす関係式を求めなさい . (2)点Pの座標と y 座標がともに正で,それらが等しいとき,円 D の中心 の座標を求めなさい. (3)点Pの円C上での位置によらず,円C上と円D上のすべての点は同じ球 面の上にあることを示しなさい. (4)(3)の球面の方程式を求めなさい. a ? D 2 5 (0.0.5) 300 (0.0. P IC y V l

(1) 座標空間において, xy平面上で点0を中心とす 4 解答 る半径1の円を表す方程式は,x2+y2=1かつ z =0で あり,この円周上の点Pの座標は0≦0<2π を満たす 0を用いて, P (cos 0, sin 0, 0) と表すことができる。 また,点Pにおける円の接線の方程式は cosx+sin.y=1 かつ z=0 この接線は平面α上にあり, 方向ベクトルの1つをdとおくと a-sinb, cost, 0) である。 n は, 平面αに垂直なベクトルであるから do-asin0+bcos0+0=0 • ① また,平面αとxy 平面とのなす角は30℃なので,z軸との交点の座標 は (0.0. である。この点をQとすると PQ=-cose, sin 0, で,PQnでもあるから acoso-bsin0+1=0 ...... ② ①②から a=cose,b= sin0 cos20+sin20=1なので,aとbの関係式は a2+62=1 ...... ( 別解点P およびz軸を含む平面上で考え る。 右図より, n=2であるから va + b2+3=2 a2+62=1 60° 30° の日は,0 π (2)cos0 = sin0 を満たす 00000=1/4より 1 P √2' √2 円Dの中心をR とおくと, RP=3であり,QP= = なので,点Rは線 √3