エラトステネスのふるい　を書いて確認

ふたつの素数の間にある数をnとします。すると、差が2であるふたつの素数はn-1とn+1と表せます。この時、連続する3つの自然数のうち1つは必ず3の倍数となります。ですが、素数であるn-1とn+1が3の倍数なはずがありません(条件的に3自体は含まれないので)よって、nは3の倍数となります。また、連続するふたつの自然数のうち1つは必ず2の倍数となります。先程と同じく、素数であるn-1とn+1が2の倍数なはずがありません(条件的に2自体は含まれないので)
よって、nは2の倍数であり、3の倍数でもあることになります。つまり、nは6の倍数です。

いかがでしょうか？