例題 24 △ABC は鋭角三角形とする。 このとき,各面すべてが△ABC 合同な四面体が存在することを示せ。 ★★★ 30分 と (京大理系・ 99後)

がxy 平面におけました。 計画 四面体の A, B, C以外の頂点をDとすると 図9のように, DA=BC, DB=CA, DC=AB * ·.(*) ++ このような「四面体 ABCD が存在 することを示せ」とは,何を示せばよ いのでしょうか? 京大にはちょくちょく 「存在するこ とを示せ」という出題があります。 A C Y C 般の数学で「存在証明」というのは難 問が多いそうなんですが,受験数学では, 存在を示す≒ 求める O B X であることが多いです。 本間でいうと, 図 9 Dの存在を示す≒Dを求める となり,「Dが求まったんだから,Dはあります」 という感じです。 D(x, y, z) とおくと, (*)から, (x-a)² + y²+z² = b² + c², (x − b)² + y² + z² = a² + c², x+(y-c) + 2 = (b-a) ++ となります。ここからD を求める, すなわち x,y,z の値を求めればよい のです。3文字で3式なので解けるはずです。 x,y,zの値が求まれば, 四面体 ABCD が存在することになりますが、1つだけ四面体ができない 場合があります。 z=0 のときです。このときはA, B, Cと同じくDもxy 平面上にあることに なり,立体でなくなってしまいます。 よって、証明の目標は, 目標 x,y,zを求めて, z≠0を示す テーマ24 図形 ④ 185