2 4 空間図形 127 □674 正二十面体の各頂点のまわりの辺の三等分点のうち,その頂点に近い5点 を通る平面で切り落としてサッカーボール状の多面体Sを作る。 aro VBC 多面体Sの面の数f,辺の数e, 頂点の数を求め,オイラーの多面体定 理が成り立つことを確かめよ。 □ 675 右の図のように, 側面が合同な正三角形からなる四角 錐 O-ABCD があり,辺OC を 2:1 に内分する点 をEとする。 辺OB上に点P をとり, AP+PE が 最小になるようにしたい。 ればよいか。 第7章

674 正二十面体に面は20個あるから, 多面体Sにおける正六角形 の面は20個。 正二十面体に頂点は12個あるから. 多面体Sにおける正五角形 よって, f=20+12=32 の面は12個。 正六角形の面が20個, 正五角形の面が12個あるので,辺の数は,各面の辺は e=(6×20+5×12)÷2=90 また, 正二十面体には頂点が12個あるが, 1つの頂点が5つの頂点におき換わるので, v=12×5=60 よって, v-e+f=60-90+322 となり, のべ6 × 20 +5×12 (本) あ 1本の辺につき2回重複し 数えている。