85 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (1) x>0 のとき 1 log(1+x)>1+10g X 26 x+2 tov e (2)n nが正の整数のとき e-1+ n 1024, 加速度 < 2n+1 a=6

EX 次の不等式が成り立つことを証明せよ。 2 ④85 (1)x>0 のとき ~10g(1+x)>1+log x+2 x <- (1) 与えられた不等式の両辺にx (0) を掛けて (2) nが正の整数のとき e-(1+1/2)" 27°+1 n e log (1+x)>x+xlog 2 x+2 この不等式は,与えられた不等式と同値である。 f(x)=log(1+x)-x-xlog 2 x+2 とする。 f(x)=log(1+x)-x-x {log2-log (x+2)} =log(1+x)+xlog(x+2)-(1+10g2)x と変形できるから 1 f'(x)= 1+x (a-x) (S-x) O(x)\ +1・10g(x+2)+x・ -(1+log 2) 1 0x+2 1+x+10g(x+2)+(1-x+2)-(1+10g2) +x42+l0g(x+2)-log2 (0 f" S" (x) == (1 + x)² + (x²+ 2)² 1 1 2 + (1+x)2(x+2)x+2 -(x+2)2+2(x+1)+(x+1)2(x+2) (x+1)(x+2)2 S

x(x+5x+5) = (x+1)²(x+2)² x>0 のとき f" (x)>0 ゆえに, x≧0 f'(x)は増加し f'(0)=1-1+log2-log2=0 よって, x>0のとき f'(x)>0 ゆえに,x0 で f(x)は増加し T<f(0)=log1=0 第4章 微分 よって, x>0のとき f(x)>0 すなわち, x0 log(1+x)>x+xlog- 2 x+2 両辺をx(0) で割ると x 110g(1+x)>1+10g 2 x+2 f(x) (2) (1) で証明した不等式においてx= 1 とおくと n よって n log(1+1)>1+log 2+1 2n る。 log ゆえに 10g 1+ >log 0g(1+1/2) e.2n 2n+1 よって (1+1/2)^ n 2ne > 2n+1 1200 2n 1 2 ここで, =1- であるから 2n+1 2n+1 すなわち ゆえにて したがって (1+1/22n+1 (1+1)>(1-2n+1) (1+1)" >e-2n+1 e-(1+1)" X200 I+xmia e 2n+1 (x)=y