基本 例題 197 文字係数の方程式の実数解の個数(2) 3次方程式 x3ax+2=0 が実数解をただ1つもつように, 定数αの値の範 「囲を定めよ。 ただし, α >0 とする。 CHART & THINKING 基本195 方程式を f(x) =αの形にするため, x3+2 3x -=α と変形してもy=" x+2 3x のグラフは数学 の知識がないとかけない。 よって, y=x-3ax+2 のグラフとx軸の共有点の個数を調 べる。 実数解をただ1つもつとき, 3次関数のグラフとx軸がどのような位置関係にあれば よいだろうか? 解答 f(x)=x-3ax+2 とする。 y=f(x) のグラフとx軸の共有点が1個となる条件を考えればよい。 f'(x)=3x2-3a=3(x²-a)=3(x+√a)(x-√a) f'(x)=0 とすると Na Ja x=-√a√a 38 増減表は右のようになるから,f(x) の 極大値は x (S f'(x) + 20 - 0 + f(-√a) = 2a√a+2, f(√a) = -2a√a +2 極小値は 80 f(x) 極大ゝ 極小 y=f(x)のグラフとx軸の共有点が1個である条件 は,3次関数 f(x) の極値が同符号,すなわち f(xa)(ya) となることである。 f(-√d)>0であるから,f(√a)>0 となればよい。 2a√a +2>0 から a0 であるから a√a <1 すなわち <1 0<a< 1 y=f(x) 極大 6 S 極小 + -√a X J