take は持っていくという意味です
つまり take an unbrella で 傘を持っていく と言う意味になります。
また、動詞から始まる文章なので命令形(〜してください)になります。

ではなぜ with you がいるのかというと、
with には共に、一緒にという意味があるからです。

傘を持っていってくださいあなたとともに。って感じです。

このwith you がないと、
傘を持っていってください→「どちらに」「誰に」「どこに」の部分が分からなくなってしまいます。

take an umbrella 傘を持っていってください(あっちに)
take an umbrella 傘を持っていってください(彼に)

などという意味に取れてしまう恐れがあります。

なのでwith youをつけることであなたとともに、つまり携帯して、という意味が含まれることになります。