基本例題 24 比例式と式の値 x+y=y+z=2+x( (1) 6 b+c_c+a_a+b (2) 解答 (1) 5 a x+y=y+z 6 よって 比例式は=とおくの方針で進める。 A 指針 条件の式は比例式であるから, x+y=5k, y+z=6k, z+x=7k (1) =kとおくと これらの左辺は x,y,zが循環した形の式であるから、Aの辺々を加えてみる すると, x+y+z をkで表すことができる。 右下の検討 参照。 (2) も同様。 WHY z+x b+c=ak コ ① +② +③ から xy+yz+zx x2+y2+22 (2) 分母は0でないから b+c c+a a 7 a+b C x+y=5k 図 ① +② +③ から 2(x+y+z)=18k したがって x+y+z=9k ④-②, ④-③, ④-① から,それぞれ x=3k, y = 2k, z=4k ①,y+z=6k C xy+yz+zx x2+y2+22 のとき、この式の値を求めよ。 (0) のとき, -=kとおくと, k=0で a ..... ①,c+a=bk 6k²+8k2+12k2 (3k)²+(2k)²+(4k)² 26k2 26 29k2 29 abc0 -=kとおくと ②,z+x=7k 2, a+b=ck 2(a+b+c)=(a+b+c)k -a 1=-1 a の値を求めよ。 (3) (3) よって (a+b+c) (k-2)=0 ゆえに a+b+c=0 または k=2 [1] a+b+c=0のとき b+c=-a b+c よって k= [2] k=2のとき, ①-② から a=6(* ②-③から6=c よって、a=b=cが得られ, これは abc≠ 0 を満たすすべ ての実数 a b c について成り立つ。 [1], [2] から 求める式の値は -1, 2 検討 ①~③の左辺は, x, 循環形 (xyz→x 次の式が得られる) いる。 循環形の式は 加えたり、引いたり 処理しやすくなること <x:y:z=3:2:4 3・2+2・4+4・3 32 +22+42 計算することも = <abc≠0⇔a=0 カ +¥0 かつ PLAY ONL 0の可能性がある 両辺をa+b+cで はいけない。 (*)k=2のとき, ① らb+c=2a, co この2式の辺々を b-a=2(a-b よってa=b (分母) 0の確認。