3 例題 48 ド･モアブルの定理の応用 複素数平面上において, 原点Oを中心とする半径1の円に内接する正三角形 の頂点を表す複素数を反時計回りに Z1,Z2, Z3 とする。このとき,次の等 式が成り立つことを証明せよ。 1+2+2=0 証明 3つの頂点を原点Oを中心としてそれぞれ 01/23 だけ π 回転すると,点Z」は点Z2に, 点22点 23 に移る。 2 したがって, w=cos 1/3+isin 1/3 とおくと, 22021, 23=azz = a2z これより, Z2 21+22+3=0 YA 2 37 O z₁+z2+z3=z₁+azı+a²z₁=(1+a+a²)z₁=₁¹=a³21 ここで, ' (cos2/23a+isin / 3 x ) 2 = = =cos2x+isin 2x=1 よって, +z2+2=0 参考 △Z12223 の外心は原点であり,212223 は正三角形であるから, 重心は外心 と一致する。 よって、++=0より。 3 Z1 23