X3 330- 一数学ⅡII • EX 4 4) 205 Oを原点とする.xyz空間に点P(10),k=0.1.…….…. nをとる。また,z軸上の の部分に点Qを線分PQの長さが1になるようにとる。 三角錐 OP & Pk+1 Q & の体積を カー1 〔東京大〕 Vとするとき、 極限 lim Vk を求めよ。 n→∞k=0 HINT Q (00.gn) としてkを n Q(0, 0, gn) とする。 PQ=1から h≧0であるから k+1 また, Pk+1 ( n △OPkPk+1 ゆえに V=1/3/340 √ ( ^ ^ )² + (1 - ^ ^ ) ² + ax² 9k=₁ 6n AOP.P...--1-(4+1) (タ+1 ニー ・1・ で表し, Vk= 2 2 Vi-(分) (1分) n k+1.0)であるから n = 6 Jo 1 3 k k △OPP+1gk OPP+19= 2√1-( 2² ) ² - (1 - 1² ) ² 2n V n n 0 ● 2 1 1- ( 12 ) ² - -√/¹-(4)-(₁-4) -11 n n k 円を表すから,その面積を考えて 2 n -△OPP+1gkn 1 = -√/2x-2x²³ dx =1 k n-1 * lim V-lim √1-( #)²-(1-2) ² 1 6 -1 よって 6nk=0 n n→∞k=0 n→∞ -√/1-²-(1-x) dx n 1 2n k+1 n k n * + - S: √(-)-(x - ²)² x 2-14) S/(/)(x 2 2 dx ₁ 6 2 2 √2 2 √2 1 2 1/² S √ ( + ) - ( x -+ ) dx = 1 + ² + (1) Z (2) xC T 6 2 6 2 48 を用いて表す。 ZA gk k n EXここで.y=1/(1/2)-(x-2121 ) 2は中心 (12/2.0). 半径 1/2の半 20円 Pr+1 Pk xy平面上で,点Pk, 20 P+1 は直線 x+y=1 にあるから, A(0, 1,0) とすると y 2 AOPRPk+1 =△OP k+1A-AOPA n Oh X:3 S₁ √ ( 1² ) ² - (x - 2)²³ dx th 18 x