＿この「マイボトル持参」と言うのは、日本語で言えば「酒類(或いは、飲み物)持ち込みO.K.」の意味です。(主に、酒類(ビールとか、ワインとか、そして、大抵はビールとかは、缶。)を持ち込んでも良いですよ、の、意味で、水やソフトドリンクのみの持ち込みを意味している訳でも、ドトールの様に容器を持ち込めば、多めに入れて呉れる、と、いう意味でもありません。
＿オーストラリアやら、幾つかの国のレストランでは、寧ろ、「酒類持ち込みO.K.」の店の方が多く、レストランのドアに、BYO と言うステッカーが貼ってあります。Bring Your Own の略です。
＿bring your own bottles は、そのまま覚えましょう。

Some restaurants offer discounts when you bring your own bottles. あなたがマイボトルを持参すると割引をしてくれる飲食店がある。
※with their bottles：their ＝ restaurants'なので、レストランのマイボトルとなるので、意味が？？？

参考にしてください。