20 図形の性質 (2) Example 20 ***** BD. |鋭角三角形 ABCについて, 点B, C から対辺に下ろした垂線をそれぞれB CE とし,2線分BD, CE の交点をFとするとき,次の各問いに答えよ。 (1) BE・BA+CD・CA=BF・BD+CF・CE を示せ。 (2) BC2=BE･BA+CD・CA を示せ。 qU got2 qol2 解答 (1) ∠ADF=∠AEF=90°である から∠ADF+ ∠AEF=180° ?? て,四角形 AEFD は円に内接する。 その円について, 方べきの定理から BE・BA=BF • BD, CD・CA=CF・CE B 交辺々たして BE・BA+CD・CA=BF・BD+CF ・CE 終 (2) BE・BA + CD・CA=BE・BA + CF・CE =BE (BE+EA)+(CE-FE)・CE E ...... であるから よって, BE:CE=EF:EA から BE・EA=FE・CE 2 ① ② から BE2+CE" =BE・BA + CD・CA 三平方の定理から BC2 = BE・BA + CD・CA 終 =(BE2+CE^)+(BE EA-FE CE) ∠EF=90°∠CAB=∠ECA,∠BEF=∠CEA=90° ABEFACEA 理| 1 | key 方べきの定理 円の2つの弦AB, CD の交点,またはそれらの 延長の交点をPとすると PA・PB=PC・PD AKSAMET C [15 茨城大〕 08(E)