4 0≦a<1を満たす実数a に対し, 数列{an} を a₁ = a, an+1 = 3 3 [an + - ² -2an (n=1,2,3,….) 2 という漸化式で定める。 ただし [x]はx以下の最大の整数を表す。 以下の問に答えよ。 (1) ②0≦a <1の範囲を動くとき, 点 (x,y) = (a1, a2)の軌跡をxy平面上に図示せよ。 (2) an-[an] ≥ ならば, an <a +1 であることを示せ。 2 (3) an> +1 ならば, an+1=3 [an] - 2an かつ [an+1] = [an]-1であることを示せ。 (4) ある2以上の自然数kに対して, a > a2 >….. > ak が成り立つとする。 このときak を の式で表せ。 3-

|f₁ 2 →9( 20₁ 12. 93 (3) An> Anti T&S1a", Anti = 3 [an] -2 An 12 [ant]=[an]-1であることを示せ。 and and! . an> 3 [ant ≤ ] -2am © an> [aut≤ ] " ②が成り立つとき、 X <an< fe + = + (Kid) と表すことができる。 また、このとき、[an]=火であり、 anti=3[ant]-2an Auti = 3 k-2 An ant = 3[an]-2anである。/ ここで、 3k-2k-1 < 3 k-2an < 3 k-2k K-1 < 3 ke-2an < f X-1 < Anti <f £9₁ [Anti] = X-1 G [anri] = [an] -1 //