41 [A] 次の定積分を求めよ. (1) √₁² x ² = 2 x + 2dx x-1 (2) √²√1+2√x dx [B] (1) 関数y=√4-x2のグラフの概形を描け. (2) 定積分 4-xdx を求めよ. 3 [C] 定積分∫ (x (1-x)}dx を求めよ. L'xf (sinx)dx "C" f(six)dx TC 2 = (2) α>1とする. (1)を用いて,積分 * x(d2-4 (弘前大) [D](1) f(x) を区間 0≦x≦1 で定義された連続関数とする.次の等式が成り立 つことを示せ. x(a²-4 cos²x) sin x 第5章 積分法 a² - cos²x (宮崎大) ( 横浜国立大 ) ( 奈良教育大 ) -dx を求めよ. (埼玉大) 積分法

7 [D](1) x="-t とおくと 対応は表のようになるから (2) fxf(sin x)dx= f(x-t)f(sin t)(-1)dt したがって 2 f*xf(sin x)dx=zff(sinx)dx :. *xf(sinx)dx=f(sinx)dx dx=-dt, sinx=sin(n-t)=sin t be x(a²-4 cos²x) sinx_x{a²-4(1-sin²x)}sinx a² - cos²x a²-(1-sin²x) TC ƒ(x) = (a²−4+4x²)x a²-1+x² 与えられた定積分IはI= "xf (sinx)dx である。 そこで, (1) を用いて計算すると = f* (x−t)ƒ(sint)dt [ ^ƒ(1)dx=F(A) - F(a) = − (F(a)- F14A))- |*^ 30x3) de = f* f (sin t)dt- f" tf(sint)dt = ["fficine) - + scrines) de =* *ƒ(sin_x)dx — ["*xƒ(sinx)dx _ [* = 1=["xf(sinx)dx=ff(sin x)dx 10 64 -1a²-4u² a²-u² TL T 3 とおくと,α>1だから, f(x) は 0≦x≦1 で連続であり, -(-1)du 3a 1 ('{₁+ ³a (u ² au + a)}du 2\u-a 3 2 128 T (a²-4 cos²x) sinx dx a²-cos²x ここで, COSx=u とおくと - sinxdx = du であり、対応は 表のようになるから 1=1/√²² 4u²-a² -du x 0-1 t 14 0 ? x 0 U T 1→-1 127 積分法