発展問題 23, 平面運動の速度の合成■ 図のように, 速さ Vで一様 に流れる川幅Lのまっすぐな川を, 静水中を速さ2Vで 進む船が渡ろうとしている。 両岸は, 平行な直線であり, 出発点から,垂直に位置する対岸の点を0とする。 まず, 川岸に垂直な方向へ船首を向けて進んだときについて, 次の各問に答えよ。 川下 (1) 船が岸をはなれてから対岸に到達するまでの時間を求めよ。 (2) 船は破線のように進み, 点Pに到達した。 OP 間の距離を求めよ。 (3) 次に,点に到達するため, 川岸に垂直な方向に対して, 上流に角度の向きに船 首を向けて進んだ。 船が川を横切るのに要する時間を求めよ。 (20. 東北学院大改) 物理 14. 平面運動の相対速度 A君は, 南向きに速さ20m/sで進む電車の中に座っており, Bさんは,線路に対して斜めに交差する道路を走る自動車に乗っている。 A君から見る と, Bさんは, 東向きに速さ 15m/sで遠ざかっていくように見えた。 地面に対するBさ んの速さを求めよ。 [物理 15. 平面運動の相対速度 水平な直線状のレールを, 速さ 5.0m/s で走っている電車内の人が、地面に対して鉛直下向きに降る雨を 見る。 このとき, 雨滴は, 鉛直方向と30°の角をなして落下して いるように見えた。 地面に対する雨滴の落下の速さを求めよ。 30° 思考 16. 運動の解析 表は、斜面に沿ってすべりおりる物体の連続写真から得られた, 位置 [cm] と時刻t[s] との関係を示したものである。 次の各問に答えよ。 (1) 物体の0.1sごとの変位4x[cm] 平均の速度v[cm/s] を計算し、表に記入せよ。 (2) 物体の速度v[cm/s] と時刻t [s] との関係を表すグラフを描け。 (3) 物体の加速度の大きさは何m/sか。 有効数字を2桁として求めよ。 時刻 位置 0.1s ごとの 変位 4x [cm] 平均の速度 [cm/s] v (cm/s)+ t[s] x(cm) 80 0 1.2 60 0.1 4.2 40 0.2 9.1 20 16.1 t(s) 25.1 0 OOO 13 0.3 0.4 V₂ 0.1 0.2 0.3 0.4 エネルギー

問題 23 24 区間の x-tグラフは,頂点が(12.0s, 48m) の上に凸の放物線とな る｡ 以上から, 図3と同じx-tグラフを描くことができる。 23. 平面運動の速度の合成 解答 L L L (1) (2) 1/12 (3) 2 V √3 V 指針 川岸で静止している人から見ると, 静水における船の速度と川 の流れの速度を合成した速度で, 船は川を進む。 船の運動は、 川の流れ に垂直な方向, 平行な方向のそれぞれに分けて考え, 各方向における速 度成分に注目する。 (3) では, 合成速度が出発点から0の向きとなるよ うに、速度ベクトルを作図する。 合成 VRB 速度が 解説 (1) 静水における船の速度を 船 川の流れの速度を1とすると,岸に対す る船の合成速度v 1 は、図1のように表さ れる。 川の流れに垂直な方向の運動を考え ると, 船は速さ 2V で等速直線運動をする。 求める時間をとすると, 等速直線運動の 公式「x=vt」 に, x=L, v=2V を代入して, L VIII 図 1 L=2V Xt₁ t₁ = 2 V (2) 川の流れに平行な方向の運動を考えると, 船は速さ V で等速直線 運動をする。 OP 間の距離 x は, 等速直線運動の公式 「x=vt」 に, v=V, L t=t₁= - を代入して, 2 V L L x=Vx- 12/11/12/ 2 V 合成 船 ① 速度 [V L 2V (3) 岸に対する船の合成速度が, 川岸に対 して垂直な方向になればよい。 このときの 船の合成速度を2 とすると, 静水におけ る船の速度 川の流れの速度を用い て, v2 は, 2= 0% +0と示される。 すな わち,各速度ベクトルの関係は,図2のよ うな直角三角形 (辺の長さの比が1:2:√3) となり, (船首の向き) は, の向き 0=30° だけ上流に傾いている。 したがって,この大きさは√3V となるので, 求める時間をとすると, 船は対岸に向かって, 速さ v2 の等速直線運動をする。 公式 「x=vt」 から, V ||| 図2 L L=√3Vxtz t₂ = √3 V 14 2V (2) 平面運動は、 互いに垂 直な2つの方向に速度を 分解し、各方向における 直線運動に分けて考える ことができる。 各速度の間には, 01 = 0% +0lll の関係が成 り立つ。 図2のように, 速度ベ クトルを表す矢印の長さ の比が, 速さの比となる。 を合成したもの が72でありが川岸 に対して垂直な向きにな るように矢印を描くと, 図2のベクトル図が得ら れる。

14. 平面運動の相対速度 解答 25m/s 指針 地面に対するA, Bの速度をv, vgとし, Aに対するBの相対 速度を VAB とする。これらの関係を図示して,vg の大きさ (速さ vs) を 計算する｡ 解説 地面に対するA, Bの速度 VA, UB と相対 速度 vAB は,図のように示される。 UA と UAB は垂 直であり, 三平方の定理から, vBの大きさは 次のように計算される。 VA UB 20m/s UB=√v^2+UAB2=√20°+15² =√(4×5)2+(3×5)² =5√42+3=5√25=5×5=25m/s 問題 15 18 Check 相対速度 地面に対する速度 , DB の観測者A, 物体Bにおい て,Aから見たBの相対速度 VAB は, 次のようにベ クトルとして図示することができる。 ①速度ベクトル VA, UB の始点をそろえて矢印を示す。 このとき,相対速度 AB は, A,Bの位置に関係 しないので, VA, UB を平行移動させて示す。 ②vA の終点からBの終点に向かって引いた矢印が, Aから見たBの相対速度 VAB となる。 VA 15. 平面運動の相対速度 解答 8.7m/s 指針 地面に対する電車の速度を , 雨滴の速度をVB, 電車内の人 から見た雨滴の相対速度をABとして,これらの関係を図示する。 この とき, UB-A が鉛直方向となす角が30° であることを利用し, 三角比を 用いてBの大きさ (速さ vg) を計算する。 電車 解説 地面に対する電車の速度 VA, 雨滴の速度 VB, 電車内から見た雨滴の相対速度 VAB は、図のように示 される。このとき, v=5.0m/s であり, ベクトルで 描かれた三角形の内角(ⅤAとUAB とのなす角) が60° となることを利用すると, VB=vatan60°=5.0×√3 =5.0×1.73=8.65m/s 8.7m/s 別解 | 直角三角形の辺の長さの比を利用して, UB を 求めることもできる。 VA: UB=1:√3 UB=√3 va=1.73×5.0= 8.65m/s 8.7m/s 16. 運動の解析 |解答 (1) 時刻 位置 0.1s ごとの B 雨滴 UB 3 UB 平均の速度 VAB 15m/s UB VAB VA 60° 引いた実印として得られ る。 (始点 ・終点) Q 「Aに対する~」 は, 「A から見た~」 の意味であ る。 直角を挟む2辺の長さ の比が3:4であれば, 斜辺の長さは5に相当す る。 7 相対速度 の図示 60° 30°の終点から VAB ②からTB に矢印を引く VAB UR ① 始点を そろえる ロベクトルの始点をそろ えて電車の速度と雨 滴の速度を示し, DA の終点に 向かって引いた矢印が VAB である。 VA