とと,エルミート性のかわりに, 対称性 (A, B)p = (B, A)F が成り立つことです。 実ベクトル空間の内積が複素ベクトル空間の内積と違う点は,実数値をとるこ が直接わかるわけではありません. ここでは量子トモグラフィー, つまり量子状 そのためには, いくつかの種類の測定をしなければなりません. どのような測 多数回測定によってわかるのは, あるオブザーパブルの平均値だけなので, 状態 状 態を決定することを考えます。 定を行えば量子状態を決定できるでしょうか。 ■ 4.1 密度作用素の空間 n次元複素ユークリッド·ベクトル空間H上の密度作用素全体のなす集合Dens の構造をもう少し考えてみます. 密度作用素はエルミート作用素なので, エルミー ト作用素全体のなす集合 Herm に目を向けてみましょう. Herm は実ベクトル空間です. 次元はn次のエルミート行列のパラメータの数を 数えればよくて,対角線にn個の実パラメータ,それ以外のところにn(n-1)/2個 の複素パラメータがあるので, n° 次元になります.さらに、実ベクトル空間 Herm に内積を定義しておきます。 (定義)エルミート作用素の内積 A, B をエルミート作用素とするとき, 内積( , )= : Herm × Herm → Kで (A, B)F = Tr(AB) と定義する。 また,第1スロット, 第2スロットの両方に関して実線形です。 ミ

密度作用素が正作用素だという性質は, すべてのWEHに対して トル空間になります. 正規直交基底のもとでは, が何をみたことになっているのか, 幾何学的に捉えてみましょう。 密度作用素は, 多数回測定によって, オブザーバブルの測定値の平均値がわかるのですが, これ こうして,Herm は内積をもつ実ベクトル空間, すなわち実ユークリッド·ベク 密度作用素の空間 63 「n (A, B)p = 2 Aji Bij = > Aj Bj こ, n も,j=1 i,j=1 です。複素数にみえるかもしれませんが、 (A, B)r => Ait Bit+ 2 (Asj Bij + As, Bj) =1 1くi<j<n と並べ替えると実数値だとわかります。 トレースが1だということがわかっています。 おかげで,2つの密度作用素の和を とると密度作用素でなくなります。 そこで、 1 W°:=W-L」 n を密度作用素のゼロ ·トレース部分ということにします。 (定義)密度作用素のゼロ·トレース空間 密度作用素のゼロ· トレース部分全体のなす集合を {wre Dens° = N° E Herm|W°+-1EDens 三 n と書き,密度作用素のゼロ·トレース空間という. Dens°は Herm 内で Dens を (-1/n)Iだけ平行移動したもので, (n°-1) 個の 実パラメータをもつ, Herm の凸空間になっています (図 4.1). 番度作用素は,トレースが1の正作用素ということで特徴付けられていました。 そのゼロ.トレース部分のみたすべき性質として言い換えてみましょう. 世度作用素についてのトレースが1だという性質は, トレースがゼロという性 質に置き換わります. これは, Tr (W°) = (W°,1)Fr =0 と, Herm の内積の形で表せます. 雷度作用素が正作用素だという性質は、すべてのゆEHに対して 2,-)2 n (v, W°w) = (w, W)- (切ニル n