例題 6.1. 電磁場 電磁場の4元ベクトルポテンシャルを Au (μ=0~3) とすると, Daのaに当るも のは μである。ラグランジュ関数は L F, uwFw (6.2.16) Fu = Oμ A, (2) - d,A,(x) (6.2.17) で与えられる。作用積分は / u4.0.A)は%= 1d2(m p) J= -F (6.2.18) この変分から,ラグランジュ方程式は (6.2.6) によって次のように導かれる。 1 0Fpa 1 0F。。() 20A,μ(x) Fpo (2) + Fpo (2) = 0 20A(z)

84 第2項は0だから - FAu) =D On Fud -0 (-) poo = 50n (Fud _FAn) = 0, Fud = 0 よって,ラグランジュ方程式は (6.2.19) O,Fud = On (3A^-AM)= となる。 Ao, A; に対応する正準運動量を求めよう. Fm= -Fuu ゆえ Fuu = 0, よって 00A0 = Ao は L の中にない。 OL T°(2)= (6.2.20) =0 0A。 OL T(x) ( - 69)F=F:0=0'A°(z) -0A'(z) (6.2.21) ニ 8A, (x) である。これよりハミルトン関数は, (6.2.21) を用いると 1 F 1 =1dポ4-1%3 /ポ2が(3.4°-)+5 FioFio H 1 d-TT; + T0,A° + ;T+=FFj 2 ニ 第2項を部分積分によって書き変えると (x→ 8で A°,ポ→0ゆえ積分項は ゼロ) 1 TTi A°8,T + (6.2.22) H= F,Fj ニ となる。