366 数学A [1]と同様に考えて P-1=12-2m+24(k+1)°=24(m+(k+1)} したがって、P2_1 は24で割り切れる。 00 EX 83 a, bを実数とし, 整式 f(x)=x°3+ax+bx を考える。 (1) a, bをf(1), f(-1)を用いて表せ。 (2) f(1)とf(一1)がともに整数であれば, すべての整数n に対して, f(n) も整数となること を証明せよ。 【関西大) (1) f(1)=1+a+b, f(-1)=-1+aーbであるから a+b=f(1)-1 0, a-b=f(-1)+1 2 そa, bの連立方程式を の+2 から 2a=f(1)+f(-1) f(1)+f(-1) |解く。 ゆえに a= 2 の-のから 26=f(1)-f(-1)-2 6=f(1)-f(-1)-2 2 ゆえに (2)(1)から, 整数nに対して f(n)=パ+(1)+f(-1) ,2+ そf(x) 2 2 n ニx+(1)+(- n(n-1) 2 =n°+ 2 -n n(n+1), n(n-1)は連続する2整数の積であるから,ともに2 2 の倍数である。 n(n+1) n(n-1) 2 よって, は整数である。 2 したがって,f(1), f(-1)がともに整数であれば,すべての整 ←n', -nも整数。 数nに対して,f(n) も整数となる。 F