183 弦の中点の軌跡 例題 111 直線 y=mx と円(x-4)+y?=12 が異なる2点A,Bで交わるとき,線分 ABの中点Pの軌跡を求めよ。 一例題108 本占 A. Bの座標を求めて,中点Pの座標(x, y)を計算すると,xとyはともにmの式で 表されるはず。したがって,次の方針でいく。 式を導く した CHART その際,交点のx座標は,yを消去した2次方程式の2つの実数解であるから つなぎの文字m を消去して, , yだけの関係式を導く 3章 18 異なる2点で交わる → D>0 本形に直 -dx- 点(p, 0 更に,中点のx座標は解と係数の関係を利用する。 ふす 啓案(y=mx と(x-4)+y'=12 からyを消去すると (x-4)?+(mx)?=12 (m°+1)x°-8x+4=0 O中 B 中 23 の P よって 0 2次方程式0の判別式をDとすると VBTCE A x 式で表さ =(-4)-4(m°+1)=4(3-m) D 4 F20 直線と円が異なる2点で交わるとき,D>0 であるから 3-m°>0 すなわち m'<3 交点 A, Bのx座標をそれぞれα, Bとすると,これらは 2次方程式0の異なる2つの実数解である。 ワ=0から -23 OはA,BArkるから(かなな6 重をてマた。lてokでだうたね 2 解と係数の関係により がある。 も制。 8 α+B= 4 更に aB= で m°+1 m?+1 あるが,ここでは使わ ない。 こる。 よって,線分 ABの中点をP(x, y)とすると a+8 X=ー 2 4 3, ソ=mx m?+1 (m°+1)x=4 (3 83DSI 3から る また,3より xキ0 であるから, ④より mミ x 44xキ0 であるから, x で割ってもよい。 \2 を'に代入して(+1x=4 -の -1}x=4 x ゆえに y+x=4 よって x y+x=4x (x-2)+y°=4 2より 0Sm'<3 であるから 分母を払って 整理すると 1Sm'+1<4 つなぎの文字 mの条 件を忘れずに。 く %1 09勝 各辺の逆数をとって 大箱 よって,3 から 4 m?+1 1<x<4 (mの値に制限があるか したがって,求める軌跡は ら、 x, yの値の範囲に も制限がある。 円(x-2)?+y°=4 の 1<x<4 の部分。 を求ぬよ 大北東 2) 点 のを求め 軌跡と方程式 顔をと