【Ⅱ型：数列】9月第3回全統記述高3模試

数列

1155

赤城 (◕ᴗ◕🎀)

Senior HighAll

去年の
自学

2025.09.22 公開

高3 数学全統模試過去問赤城 math 過去問解説赤本青本

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ノートテキスト

ページ1:

2024年度 9月第3回全統記述高3模試 自学@Akagi
Ⅱ型
⑤ 【Ⅱ型数学 I, A, Ⅱ, B, C 選択問題】(配点 50点)
片方の面が白色, もう片方の面が黒色の3枚のカードがあり,3枚とも
白色の面を上にして横一列にテーブルに置かれている. 次の操作を繰り返し
行う.
(操作)
箱の中に1が書かれた球, 2が書かれた球, 3が書かれた球の合計
3個の球が入っている. この袋の中から無作為に1個の球を取り出し,
取り出した球に書かれた数k (k= 1, 2, 3) に対して,左からk番目のカー
ドだけを裏返し, 取り出した球は袋に戻す .
この操作をn回(n: = 1, 2, 3, ...) 行ったとき, 左端のカードの上面が白
色である確率を p" とする.
(1) Pi, P2 を求めよ.
(2)P+1をp, を用いて表せ. また, p, を求めよ.
(3)n≧3 とする. n回目の操作後に左端のカードの上面が白色であった
とき,2回目の操作後に3枚とも上面が白色である条件付き確率 q, を
求めよ.

ページ2:

自学@Akagi
(1) 左端のカードの上面が白色である確率を Pn
▷ p:② または③を引く確率だから
P₁
-
☐ ☐ ☐
▷ p2:1回目が終わった時点で左端が白色で,2回目に②または③を引く
22
☑-=
4
1回目が終わった時点で左端が黒色で、2回目に①を引く
111
-α-=-
33 9
これらは互いに排反だから
Pi =-+
1
9 9

ページ3:

2
▷
Pn+1 = Pn
n回目が終わった時点で左端が黒かつ
n+1回目で①
1
- Pn) ×
n回目が終わった時点で左端が白かつ
n+1回目で②か③
:Pn+1
・Pn +
3'
3
1
▷ 特殊解型の漸化式 Pn+1
==
p, t-...
n
3
(*)の一般項を求める。
• 特性方程式α-α+を解くと、特殊解はα-12
3
=
○よって(*)は
Pn+1
= Pn
2 3
2
opn
1
=
n
2
とおくと In+1
=
r₁ = P₁
3
=
2 3 2
} } }
よって数列{r}
■ } は初項 -
公比-の等比数列だから
○ 元に戻して
すなわち
n
=
-
6
(126)
3
12-12(
Pn =
=
=
10+
n
3

ページ4:

(3) n≧3
n回目の操作後に左端のカードの上面が白色である確率は Pn
2回目の操作後に3枚とも上面が白色なのは,
1回目と2回目に同じカードを裏返し,
11
1 1 1
-x-+-x-+-x-=
3333 3
左端 真ん中 右端
残りのn-2回の操作後に左端のカードの上面が白色→Pn-2
1
1
であればよいので
・XPn-2
=-
Pn-2
よって, 求める条件付き確率はイアより
n-2
+
1
an
== Pn-2
Pn = ×
n
2
32+3"
37-1 +3
×
3
+
1
3
1+3"
3"+1