Senior HighAll

複素数平面上の点列An(n≧0)が複素数列an＋ibn(an,bnは実数,iは虚数単位)を表すとする。
極限値lim(n→∞)an＝a∞,lim(n→∞)bn＝b∞がともに存在するとき,複素数a∞＋ib∞を表す点A∞をAnの極限点ということにする。このとき,次の問いに答えよ。
(1)複素数平面上の点列Pn(n≧0)を次のように定める。Poは0を表す点とし,P1は1＋iを表す点とする。以下n≧2に対しては,ベクトルP(n -2)P(n -1)↑を反時計まわりにπ/3回転し,長さを2/3倍したベクトルP(n -1)Pn↑となるようにPnを定める。
Pnの極限点P∞が表す複素数を求めよ。
(2)点列Qn(n≧0)は次のように定める。Qoは0を表す点とし,Q1は
z＝x＋iyを表す点とする。以下n≧2に対しては,
ベクトルQ(n -2)Q(n -1)↑を反時計まわりにπ/6回転し,長さを1/2倍したベクトルがQ(n -1)Qn↑となるようにQnを定める。
Qnの極限点Q∞と(1)のP∞が一致するとき,zを求めよ。
(東工大)