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出た目に
き、出た目
5,6のい
ときであ
ことど
A1
両端のマスが同じ色になる塗り方を A, 両端のマスが異なる色になる塗り方をBとす
とする。
-ある｡
A1 に
4 [2009 横浜国立大]
赤,青, 黄の3色を用いて, 横1列に並んだn個のマスを, 隣り合うマスは異なる色に
なるように塗り分ける。 ただし, 使わない色があってもよい。 両端のマスが同じ色にな
る場合の数を am とし, 両端のマスが異なる色になる場合の数をb, とする。
(1) as, bs, as b』 を求めよ。
(2) a1b (n≧3) をnの式で表せ。
出て
●目)の
る!
(1) n=3のとき
左端のマスを赤で塗るとき, 樹形図からAの塗り方は2通り, Bの塗り方は2通り
ある。よって ag=3×2=6, bs=3×2=6
n=4のとき な端が、赤、青、黄の場合の3パターン
左端のマスを赤で塗るとき, 樹形図からAの塗り方は2通り, Bの塗り方は6通り
ある。よって a4=3×2=6, b=3×6=18
樹形図は混色の
どれかけでいい。
・赤
黄
青
(1) から
よって, ③, ④ から
Bの塗り方になるのは, 次の [1], [2] のいずれかである。
[1] 左からn個のマスの両端を同じ色とし、残りの1マスにそれと異なる2色のどち
らかを塗る。
●全分け [2] 左からn個のマスの両端を異なる色とし,残りの1マスに両端以外の1色を塗る。
①よりAnti
こ
antz
よって bn+1=2ax+bm
問題文にある
①②から an+2=2an+an+1 (n≧3)
変形して an+2+an+1=2(an+1+ax)
an+2-2an+1=-(an+1−2az)
a+a3=12,4-2a3=-6
黄
(2) n+1個のマスがあるとする。
Aの塗り方になるには,左からn個のマスの両端を異なる色とし、残りの1マスに左
端と同じ色を塗ればよい。 ゆえに an+1 = bn
黄
青黄赤青青黄赤黄
赤
辺々を引くと
30=3.2"-1+6・(-1)"-1
また, ① から bn=an+1=2"+2・(-1)"
banzanti
これを②に代入
an+1+a=2"-3 (ax+as) = 3.2"-1
an+1-2a=(-1)"-8a-2as)=−6 (-1)"-1
ゆえに
an=2"-1+2.(-1)"-1
