準 60 高次式の進
P=x-2x+6 とする。
(1)x=1+√2のとき, x²-2x+3=0 であることを証明せよ。
(2) Pをx²-2x+3で割ったときの商と余りを求めよ。
CHART
x=1+√2i のとき, Pの値を求めよ。
& GUIDE
高次式の値
割り算の等式 A =BQ+R を利用する
(1)x-2x+3 に x=1+√2i を代入して0になることを導いてもよいが,
x-1=√2iとして両辺を2乗すると,√が消え、計算がらくになる。
(3)P=x-2x+6 に x=1+√2i を代入すると,計算が大変。そこで,割り算の等式
を利用する。 (2)で求めた商をQ 余りをRとするとP=(x²-2x+3)Q+R
解答
(1) から, x=1+√2i のとき下線部は0になる。
(1) x=1+√2i から
x-1=√2i
両辺を2乗して (x-1)2=(√2i) 2
よって x2-2x+1=2i2 整理して x²-2x+3=0 <<-212=-2
[別解] x=1+2iのとき
x²-2x+3=(1+√2 i)-2(1+√2i)+3
(2) 右の計算から
=1+2√2i+2-2-2√2i+3=0
x+2
商x+2, 余り x
x²-2x+3)x3
(3)(2)から
商
2
さ
1
P=(x²-2x+3)(x+2)-x
Pに x=1+√2i を代入すると, (1) から
P=0-(1+√2i)=-1-√2i
-2x+6
x3-2x2+3x
2x2-5x+6A=BQ+R の形。
2x2-4x+6(1) から, x=1+√2の
811x
↑直接代入でもいい
mmm Lecture 次数下げに認
とき x²-2x+3=0
