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演習 220
220 整数 α,m,nについて,次の命題を証明せよ。
が奇数ならば, αは奇数である。
□ (1)
□(2)* n2+4n+1 が奇数ならば, nは偶数である。
□(3) m²+n²が奇数ならば、積mn は偶数である。
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教 p.97 例題 1
wry IM
WIVEN THEMI
α²=(2k)=4k²=2 (2k²) となり, 2k2 は整数であるから, a は偶
数となる。
よって, 対偶が証明されたので,もとの命題も成り立つ。
(2) この命題の対偶 「nが奇数ならば,n²+4n+1 は偶数である」
を証明すればよい。
nが奇数のとき, n=2m+1(m は整数) と表され,
n²+4n+1=(2m+1)²+4(2m+1)+1
=4m²+12m+6=2(2m²+6m+3)
2m² +6m+3は整数であるから, n' +4n+1 は偶数となる。
よって, 対偶が証明されたので,もとの命題も成り立つ。
(3) この命題の対偶 「積mnが奇数ならば, m² + n は偶数である｣
を証明すればよい。
積mnが奇数のとき,m,nはともに奇数で, m=2k+1, n=2ℓ+ 書込開始
(k, lは整数)と表される。
